Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{xln(x)}{x+1}$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  1. On pose $g(x)=ln(x)+x+1$ définie sur $]0;+\infty[$
    1. Etudier les variations de la fonction $g$.

      Dérivée de la fonction ln


      La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
      Pour étudier le signe de $g'(x)$ on a $x >0$
      La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
      $g'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
      On a $x >0$ donc $\dfrac{1}{x}> 0$ et on a alors $g'(x)>0$
    2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $0,27 < \alpha < 0,28$.

      Théorème des valeurs intermédiaires


      $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

      Cas où la fonction est monotone
      Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
      $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
      Il faut utiliser le sens de variation de $g$ et calculer $g(0,27)$ et $g(0,28)$
      $g(0,27)=ln(0,27)+0,27+1\approx -0,04$ et $g(0,28)=ln(0,28)+0,28+1\approx 0,007$
      $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$
      et 0 est compris entre $g(0,27)$ et $g(0,28)$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $g(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$
      De plus $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$
    3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$.
      $g$ est strictement croissante et $g(\alpha)=0$
      $g$ est continue et strictement croissante avec $g(\alpha)=0$
  2. Etude de la fonction $f$.
    1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

      Cas d'indétermination


      $+\infty-\infty$
      $0\times \pm \infty$
      $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
      $\dfrac{0}{0}$
      Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

      Croissances comparées


      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$
      En 0, on peut chercher la limite du numérateur et celle du dénominateur.
      En $+\infty$ on peut lever l'indétermination en factorisant $x$ au numérateur et au dénominateur
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$ (limite du cours)
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}x+1=1$

      Pour tout réel $x >0$ on a:
      $f(x)=\dfrac{xln(x)}{x\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{ln(x)}{1+\dfrac{1}{x}}$
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{1}{x}=1$
    2. Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.
      On donnera une valeur approchée de l'extremum de $f$ en arrondissant $\alpha$ aux dixièmes.

      Formules de dérivation (produit, quotient...)


      Dérivée de la fonction ln


      La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
      On pose $u(x)=xln(x)$ et $v(x)=x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
      $u$ est le produit de $x$ et de $ln(x)$
      On pose $u(x)=xln(x)$ et $v(x)=x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
      et on a $u$ et $v$ dérivables sur $]0;+\infty[$ donc le quotient $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
      $u'(x)=(x')ln(x)+x(ln(x))'=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=ln(x)+1$ $u$ est le produit de deux fonctions
      et $v'(x)=1$
      $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{(ln(x)+1)\times (x+1)-xln(x)\times 1}{(x+1)^2}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{xln(x)+x+ln(x)+1-xln(x)}{(x+1)^2}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+ln(x)+1}{(x+1)^2}$

      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{(x+1)^2}$

      $(x+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.

      On a $0,27 < \alpha < 0,28$ donc $\alpha\approx 0,3$ en arrondissant $\alpha$ aux dixièmes.
      avec $f(\alpha)=\dfrac{\alpha ln(\alpha)}{\alpha+1}\approx f(0,3) \approx -0,3$
    3. Montrer que $f(\alpha)=\alpha$
      On a $g(\alpha)=ln(\alpha)+\alpha+1=0$
      On a $g(\alpha)=0$ donc $ln(\alpha)+\alpha+1=0$ soit $ln(\alpha)=-\alpha-1$
      $f(\alpha)=\dfrac{\alpha ln(\alpha)}{\alpha+1}$
      $\phantom{f(\alpha)}=\dfrac{\alpha\times (-\alpha-1)}{\alpha+1}$
      $\phantom{f(\alpha)}=\dfrac{-\alpha (\alpha+1)}{\alpha+1}$
      $\phantom{f(\alpha)}=-\alpha$
    4. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
      $f(x)=0 \Longleftrightarrow xln(x)=0$ (produit de deux facteurs)
      $f(x)=0 \Longleftrightarrow xln(x)=0$
      Or $x >0$ donc $f(x)=0 \Longleftrightarrow ln(x)=0 \Longleftrightarrow x=1$.
  3. Tracer $C_f$ en mettant en évidence les résultats précédents (extremum, intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses).
    On peut placer le point $S(\alpha; \alpha)$ et le point $A(1;0)$.
    La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en $A(1;0)$ et admet pour minimum $-\alpha \approx -0,3$ atteint en $x=\alpha$.
    \includegraphics[scale=0.6]{fig2}

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.