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Calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $I$ dans les cas suivants
  1. $f(x)=\sqrt{3x-6}$ sur $I=]2;+\infty[$

    Dérivées usuelles


    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    $f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 3x-6$ et de la fonction racine carrée
    On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=3$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{3x-6}}\times 3=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-6}}$


    La fonction affine $x\longmapsto 3x-6$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et la fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc $f$ est dérivable si $u(x)>0$ soit sur $]2;+\infty[$
  2. $f(x)=2\sqrt{x^2+1}$ sur $I=\mathbb{R}$
    On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=2\sqrt{x}$
    $f$ est la composée de la fonction $x\longmapsto x^2+1$ et de la fonction racine carrée
    On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=2\sqrt{x}$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\times 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$
  3. $f(x)=\sqrt{e^x+1}$ sur $I=\mathbb{R}$
    On pose $u(x)=e^x+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    $f$ est la composée de la fonction $x\longmapsto e^x+1$ et de la fonction racine carrée
    On pose $u(x)=e^x+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=e^x$ et $v'(x)= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{e^x+1}}\times e^x=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}$

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