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Le plan muni d'un repère orthonormé.
  1. La droite $(d)$ a pour équation $4x-3y+6=0$.
    Tracer $(d)$.

    Vecteur directeur dans un repère


    Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur directeur de la droite $(d)$
    Déterminer les coordonnées d'un point de la droite
    La droite $(d)$ a pour équation $4x-3y+6=0$ on a $a=4$ et $b=-3$
    donc $\overrightarrow{u}(3;4)$ est un vecteur directeur de $(d)$
    Si $x=0$ alors $4\times 0-3y+6=0 \Longleftrightarrow -3y=-6 \Longleftrightarrow y=2$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ et passant par $A(4;2)$.

    Droites parallèles


    Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction)
    Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$
    Méthode 1: vecteurs colinéaires
    Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$.
    $\overrightarrow{AM}(x-4;y-2)$
    $(d)//(d')$ donc un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$
    donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}(3;4)$ sont colinéaires.
    $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u})=0$
    $\Longleftrightarrow \begin{vmatrix} x-4&3\\ y-2&4 \end{vmatrix}=0$
    $\Longleftrightarrow 4(x-4)-3(y-2)=0$
    $\Longleftrightarrow 4x-16-3y+6=0$
    $\Longleftrightarrow 4x-3y-10=0$

    Méthode 2

    $(d)//(d')$ donc un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(3;4)$ de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$
    donc $a'=4$ et $b'=-3$
    On a donc $(d')$: $4x-3y+c'=0$
    $A\in (d')\Longleftrightarrow 4\times 4-3\times 2+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow 16-6+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow c'=-10$

  3. La droite $(d'')$ a pour équation $3x+4y-33=0$.
    Déterminer les coordonnées du point d'intersection $C$ de $(d)$ et de $(d'')$.
    il faut résoudre les système formé avec les deux équations de droites
    $\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 12x-9y+18-(12x+16y-132)=0~~~~3L_1~-4L_2\\ 16x-12y+24+9x+12y-99=0~~~~~~4L_1+3L_2 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -25y+150=0\\ 25x-75=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=\dfrac{-150}{-25}\\ x=\dfrac{75}{25} \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=6\\ x=3 \end{cases}$

  4. Montrer qu'un point $M(x;y)$ appartient au cercle de centre $A$ passant par $C$ si et seulement si $(x-4)^2+(y-2)^2=17$.
    Le point $B(7;3)$ appartient-il à ce cercle?

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    Il faut calculer la longueur du rayon $[AC]$
    $A(4;2)$ et $C(3;6)$.
    $AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
    $~~~~~=(3-4)^2+(6-2)^2$
    $~~~~~=(-1)^2+4^2$
    $~~~~~=1+16$
    $~~~~~~=17$
    $M(x;y)$ est un point du cercle donc $AM^2=AC^2$
    donc $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=AC^2$

    $(x_B-4)^2+(y_B-4)^2=(7-4)^2+(3-4)^2=9+1=10\neq 17$

    Contrôle avec GEOGEBRA

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équations cartésiennes

- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle


infos: | 20-25mn |

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