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Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement quand cela est possible.
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- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$Il y a indétermination en $+\infty$
On a $e^{2x}=e^xe^x$
Il y a indétermination en $+\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty$
Il faut utiliser les croissances comparées (résultat du cours)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2=+\infty$
La courbe admet une asymptote d'équation $y=0$ en $-\infty$. - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x-x$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x-x$
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
$n\in \mathbb{N}^*$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$Il y a indétermination en $+\infty$
On a $e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$
Il y a indétermination en $+\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} - x=-\infty$
Pour tout réel $x>0$, on a $e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} -x=+\infty$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Croissance comparée de $e^x$ et $x^n$ en $+\infty$
- rappels de cours
- utilisation pour lever une forme indéterminée
infos: | 10-12mn |
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