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La fonction $f$ est définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-1}$ et on note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal.
- Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
limites usuelles
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x^n}=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction exponentielle(vue en première)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^n=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+ \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction $ln$ (chapitre fonction $ln$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
Opérations sur les limites
Pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$, il faut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur
Pour la limite en $x=1$, il faut distinguer les cas $x< 1$ et $x > 1$Pour tout réel $x\neq 0$, on a:
$f(x)=\dfrac{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2-\dfrac{3}{x}=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{1}{x}=1$
De même, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2-\dfrac{3}{x}=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{1}{x}=1$
Limite quand $x \longrightarrow 1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}2x-3=2\times 1-3=-1$
Cas où $x <1$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}x-1=0^-$ car $x-1< 0$ pour $x < 1$
Cas où $x >1$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}x-1=0^+$ car $x-1> 0$ pour $x > 1$
- En déduire les asymptotes à la courbe $C_f$.
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.Utiliser les limites obtenues à la question précédente$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=2$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=-\infty$
- On note $C$ le point d'intersection des deux asymptotes.
Déterminer les coordonnées de $C$.
Soit $M(x;y)$ un point du plan, $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $C$.
Exprimer les coordonnées de en fonction de $x$ et $y$.$C$ est le milieu de $[MM']$.Les asymptotes ont pour équations respectives $x=1$ et $y=2$ donc $C(1;2)$.
$M'$ est le symétrique de $M(x;y)$ par rapport à $C$
donc $C$ est le milieu de $[MM']$.
On a donc:
$\begin{cases} x_C=\dfrac{x_M+x_{M'}}{2}\\ y_C=\dfrac{y_M+y_{M'}}{2} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 1=\dfrac{x+x_{M'}}{2}\\ 2=\dfrac{y+y_{M'}}{2} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x_C=\dfrac{x_M+x_{M'}}{2}\\ y_C=\dfrac{y_M+y_{M'}}{2} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2=x+x_{M'}\\ 4=y+y_{M'} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x_C=\dfrac{x_M+x_{M'}}{2}\\ y_C=\dfrac{y_M+y_{M'}}{2} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2-x=x_{M'}\\ 4-y=y_{M'} \end{cases}$
- Montrer que si $M\in C_f$ ($x\neq 1$) alors $M' \in C_f$.
Si $M\in C_f$ on a $y=f(x)$.
On veut montrer que $y_{M'}=f(x_{M'})$ $faidePour tout réel $x\neq 1$, si $M\in C_f$ on a $y=f(x)=\dfrac{2x-3}{x-1}$.
$M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $C$ donc $M'(2-x;4-y)$.
$f(2-x)=\dfrac{2(2-x)-3}{2-x-1}=\dfrac{4-2x-3}{1-x}=\dfrac{-2x+1}{1-x}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
$4-y=4-\dfrac{2x-3}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-(2x-3)}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
donc $f(x_{M'})=4-y=y_{M'}$
- Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$?
On donne ci-dessous le tracé de $C_f$ sur $]1;+\infty[$.
Terminer le tracé de $C_f$ et tracer les deux asymptotes à la courbe.
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