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- On donne l'algorithme ci-dessous:
Quel est le résultat affiché si on saisit $\varepsilon=0,1$? - En utilisant la fonction valeur absolue, quelle inégalité peut-on écrire pour remplacer la condition $-\varepsilon < \frac{x-2}{x+3}-1 < \varepsilon$?
En déduire une écriture de la condition d'entrée dans la boucle TANT QUE avec une valeur absolue.7Rappel: pour tout réel $a>0$, $ -a < x < a \Longleftrightarrow |x|< a$On veut $-\varepsilon < \frac{x-2}{x+3}-1 < \varepsilon$
soit $\vert \frac{x-2}{x+3}-1 \vert <\varepsilon$
On peut donc remplacer la condition $ \frac{x-2}{x+3}-1 <-\varepsilon $ ou $ \frac{x-2}{x+3}-1 > \varepsilon$
- Saisir l'algorithme en python.
Que s'affiche-t-il si on saisit maintenant $\varepsilon=0,01$ puis $\varepsilon=0,001$?input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Boucle TANT QUE
while test-à-faire : instructions de la boucle tant queOn dot saisir la variable (instruction input) et utiliser une boucle TANT QUE.
Si on saisit $\varepsilon=0,01$, l'algorithme affiche $x=500$.
Si on saisit $\varepsilon=0,001$, l'algorithme affiche $x=5000$.
On peut utiliser aussi la fonction valeur absolue
- Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+2$ est strictement croissante sur $[10;+\infty[$.
Rappel: il faut étudier le signe de la dérivée$f$ est dérivable sur $[10;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables sur $[10;+\infty[$).
On pose $u(x)= x-2$ et $v(x)= x+3 $
et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= 1 $
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{( 1 )( x+3 )-( x-2 )( 1 )}{( x+3 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+3-x+2}{( x+3 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{5}{( x+3 )^2}$
$(x+3)^2>0$ donc $f'(x)>0$
- Montrer que pour tout réel $x \geq 10$, on a $f(x) <1$.
- En saisissant différentes valeurs de $\varepsilon$, que peut-on dire alors de $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x-2}{x+3}$?
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$On peut saisir des valeurs de plus en plus petites pour $\varepsilon$ pour avoir les conditions de la définitionSi on saisit $\varepsilon=10^{-4}$ on obtient $x=50000$, $\varepsilon=10^{-5}$ on obtient $x=500000$.
donc $|f(500000)-1|< 10^{-5}$ soit $-10^{-5}< f(500000)-1 < 10^{-5}$ et $f(x) <1 $
donc $1-10^{-5} < f(500000) < 1$
$f$ est strictement croissante et $f(x) < 1$ donc pour tout $x > 500000 $ on a $1-10^{-5} < f(500000) < f(x) < 1 $
On peut conjecturer que pour tout réel $\varepsilon >0$ il existe un réel $X_0$ tel que $1-\varepsilon < f(x) <1$ pour tout $x> X_0$
- En utilisant les limites des fonctions usuelles, retrouver le résultat précédent.
On peut factoriser le terme de plus haut degré.Pour tout réel $x >0$, on a:
$f(x)=\dfrac{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{3}{x}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1+\dfrac{3}{x}=1$
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