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Le carbone 14 est un élément radioactif et les tissus animaux ou végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 durant leur vie.
Cette proportion décroit ensuite de 1,24 % tous les 100ans pour les tissus morts
On note $Q$ le pourcentage initial de carbone 14 contenu dans les tissus vivants et $Q_n$ le pourcentage de carbone 14 après $100n$ années.
  1. Déterminer le pourcentage de la proportion initiale de carbone 14 dans des tissus morts après 1000 ans, 10000 ans
    Rappel: diminuer de t% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{t}{100}$
    Si on note $Q_0$ la proportion initiale de carbone 14 dans les tissus vivants et $Q_n$ la proportion de carbone 14 dans les tissus morts après $100n$ années, on a: $Q_{n+1}=Q_n-\dfrac{1,24}{100}Q_n=Q_n(1-\dfrac{1,24}{100})=0,9876Q_n$
    $(Q_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $Q_0$ et raison $q=0,9876$
    donc $Q_n=Q_0\times 0,9876^n$
    Après 1000 ans , on a donc $Q_{10}=Q_0\times 0,9876^{10}$
    Le pourcentage de la proportion initiale après 1000 ans est donc:
    $\dfrac{Q_{10}}{Q_0}\times 100=0,9876^{10}\times 100\simeq 88,3$%

    On effectue le même calcul pour 10000 ans soit pour $n=100$:
    $Q_{100}=Q_0\times 0,9876^{100}$
    Le pourcentage de la proportion initiale après 10000 ans est donc:
    $\dfrac{Q_{100}}{Q_0}\times 100=0,9876^{100}\times 100\simeq 28.7$%
  2. Montrer que $(Q_n)$ est une suite géométrique dont déterminera la raison.
    En déduire l'expression de $Q_n$ en fonction de $n$.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    Diminuer de $1,24$% revient à multiplier par $1-\dfrac{1,24}{100}$
    Diminuer de $1,24$% revient à multiplier par $1-\dfrac{1,24}{100}=0,9876$
    donc on a $Q_{n+1}=0,9876Q_n$
    donc $(Q_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9876$ et premier terme $Q$
  3. Déterminer l'âge d'un squelette contenant 5% du carbone 14 initial.
    Utiliser la calculatrice pour déterminer $n$ à partir duquel $Q_n
    $Q_n=Q_0\times 0,9876^n$
    On veut déterminer $n$ pour que $\dfrac{Q_n}{Q_0}=\dfrac{5}{100}$
    soit $0,9876^n=0,05$
    Avec le MENU TABLE de la calculatrice, en saisissant la fonction Y1=$0,9876^X$ et en paramétrant dans SET (ou RANG) XSTART=150, XEND=250 et PITCH=1
    on obtient $0,9876^{240}\simeq 0,497$

    $240\times 100=24000$

  4. Déterminer la limite de $(Q_n)$ et en donner une interprétation.

    Limite de $q^n$ (suite géométrique)


    Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
    Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$
    La raison $q=0,9876$
    donc $q\in ]-1;1[$

    A très long terme, la teneur en carbone 14 sera presque nulle et on ne pourra détecter sa présence.

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