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Résoudre les inéquations ci-dessous dans $\mathbb{R}$
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- $(e^{-2x+4})^2\leq e^x$
Égalité et inégalités avec exponentielle
Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
$e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$
$e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
Il faut transformer l'écriture du membre de gauche dans cette inéquation$(e^{-2x+4})^2\leq e^x \Longleftrightarrow e^{2(-2x+4)}\leq e^x$
$\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow e^{-4x+8}\leq e^x$
$\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow -4x+8\leq x$
$\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow -5x\leq -8$
$\phantom{(e^{2x-4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{-8}{-5}$ l'inégalité change de sens (on divise par $-3$)
$\phantom{(e^{2x-4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{8}{5}$
- $e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}$
On a $\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}$$e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x} \Longleftrightarrow e^{2-x}>e^{-x}$
$\phantom{e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}} \Longleftrightarrow 2-x>-x$
$\phantom{e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}} \Longleftrightarrow 0x>-2$
$0x=0$ est toujours strictement supérieur à $-2$ donc l'inégalité est vraie pour tout réel $x$
- $(e^{2x}-1)(e^x+1)>0$
Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $e^x+1>0$
$(e^{2x}-1)(e^x+1)$ est donc du signe de $e^{2x}-1$Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $e^x+1>0$
donc $(e^{2x}-1)(e^x+1)$ est du signe de $e^{2x}-1$
$(e^{2x}-1)(e^x+1)>0 \Longleftrightarrow e^{2x}-1>0$ car $e^x+1>0$ pour tout réel $x$
$\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}-1>0$
$\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}>1$
$\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}>e^0$ ( rappel $e^0=1$)
$\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow 2x>0$
$\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow x>0$
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