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- Déterminer le module et l'argument de $z=\sqrt{3}+i$.
Donner ensuite la forme exponentielle de $z$Module d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.Argument d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}$|z|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
$\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $arg(z)=\theta=\dfrac{\pi}{6}$ $(2\pi)$
- En déduire la forme exponentielle de $z^3$ et $z^6$ puis que $z^3$ est imaginaire pur et que et $z^6$ est réel.
$z^3=\left(2e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)^3$
$~~~~~~=8\times e^{i\dfrac{\pi}{2}}$
$~~~~~~=8\times \left(cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$
$~~~~~~=8\times \left(0+i\right)$
$~~~~~~=8i$
$z^6=\left(2e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)^6$
$~~~~~~=64\times e^{i\pi}$
$~~~~~~=64\times \left(cos\left(\pi\right)+isin\left(\pi\right)\right)$
$~~~~~~=64\times \left(-1+0i\right)$
$~~~~~~=-64$
- Donner la forme algébrique de $z^{66}$
On utilise la forme exponentielle
Il faut déterminer la mesure principale de $11\pi$$z^{66}=\left(2e^{i\dfrac{\pi}{3}}\right)^{66}=2^{66}e^{\dfrac{66\pi}{6}}=2^{66}e^{11\pi}$
$11\pi=\pi+10 \pi=\pi+5\times 2\pi$
La mesure principale de l'argument de $z^{66}$ est donc $\pi$
$z^{66}=2^{66}\left(cos\left(\pi\right)+isin\left(\pi\right)\right)$
$~~~~~~=2^{66}\left(-1+0i\right)$
$~~~~~~=-2^{66}$
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