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Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers.
Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80% des touristes choisissent le minibus. L On considère qu'ensuite, chaque jour, 30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n}\end{pmatrix} $ la matrice traduisant l'état probabiliste relatif au $n$-ième jour, où :
$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;
$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
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Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80% des touristes choisissent le minibus. L On considère qu'ensuite, chaque jour, 30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.
Soit $n$ est un entier entre 1 et 31. On appelle $P_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n}\end{pmatrix} $ la matrice traduisant l'état probabiliste relatif au $n$-ième jour, où :
$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ ;
$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour $n$.
- Justifier que l'on peut modéliser cette situation par une chaîne de Markov à deux états et donner son graphe probabiliste.
Chaîne de Markov
On considère une suite de variables aléatoires $(X_n)$ définies sur un même espace fini muni d'une probabilité.
On dit que $X_n$ est une chaîne de Markov à deux états $A$ et $B$ (respectivement à trois états $A$, $B$ et $C$) si :
pour tout entier naturel $n$ et tout $x\in \lbrace A;B\rbrace$ (respectivement $x\in \lbrace A;B;C\rbrace$) alors $p(X_{n+1}=x)$ ne dépend que de l'état à l'étape $n$.
La distribution initiale est la loi de probabilité pour $n=0$.Si on note A et B les sommets du graphe, 30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette se traduit par 30% passent de A vers BLa proportion de vacanciers utilisant le minibus ou la byciclette le jours $n+1$ ne dépend que du jours précédent (jours $n$)
donc on peut modéliser cette situation avec une chaîne de Markov à deux états $a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour $n$ donc on note $A$ l'événement: " le vacancier a choisi le minibus"
et $B$ l'événement " le vacancier a choisi la bicyclette".
30% de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette donc le coefficient de $A$ vers $B$ est 0,3
et 15% des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus donc le coefficient de B vers A est 0,15.
On a donc:
- Écrire la matrice de transition, notée M, associée à cette situation.
Matrice de transition d'un graphe probabiliste
La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.
e coefficient de la ligne 1 et de la colonne 1 correspond à la probabilité de A sachant que A est réalisé la veille.Le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 2 correspond à la probabilité de B sachant que A est réalisé à la veille....
$M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\ 0,15&0,85 \end{pmatrix}$
La somme des coefficients de chaque ligne doit être égale à 1. - Déterminer l'état initial $P_{1}$.
$P_{n} = \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n}\end{pmatrix} $
donc $P_1=\begin{pmatrix} a_1&b_1 \end{pmatrix}$ pourcentages de touristes ayant choisi respectivement le minibus et la bicyclette le premier jour.
Le premier jour, 80% des touristes choisissent le minibus donc $a_1=0,8$ et $b_1=1-a_1=0,2$.
- Calculer $P_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu.
Matrice de transition d'un graphe probabiliste
La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.$E_2=E_1\times M$
$\phantom{E_2}=\begin{pmatrix} 0,8& 0,2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,7&0,3\\ 0,15&0,85 \end{pmatrix}$
$\phantom{E_2}=\begin{pmatrix} 0,8\times 0,7+0,2\times 0,15&0,8\times 0,3+0,2\times 0,85 \end{pmatrix}$
$\phantom{E_2}=\begin{pmatrix} 0,59& 0,41 \end{pmatrix}$
- On suppose que $\text{M}^5 = \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\
0,317& 0,683 \end{pmatrix}$ et $\text{M}^6 = \begin{pmatrix}0,352& 0,648\\
0,324& 0,676 \end{pmatrix}$, les coefficients ayant été arrondis au millième.
En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6ième jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1% près.On veut calculer $E_6$
On commence à l'indice 1$E_2=E_1\times M$
$E_3=E_2\times M=E_1\times M^2$....
$E_6=E_1\times M^5$
$E_6=\begin{pmatrix} 0,8& 0,2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,367& 0,633\\ 0,317& 0,683 \end{pmatrix}$
$\phantom{E_6}=\begin{pmatrix} 0,8\times 0,367+0,2\times 0,317& 0,8\times 0,633+0,2\times 0,683 \end{pmatrix}$
$\phantom{E_6}=\begin{pmatrix} 0,357 & 0,643 \end{pmatrix}$
Le sixième jour:
$0,357\times 100=35,7 \approx 36$ % des touristes choisissent le minibus.
$0,643\times 100=64,3\approx 64$ % des touristes choisissent la bicyclette.
- Soit P$ = (x\quad y)$ la matrice correspondant à l'état stable.
Déterminer $x$ et $y$ ; en donner une interprétation.État stable ou chaîne de Markov stationnaire
On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.Calculer $E\times M$ en fonction de $x$ et $y$ et on a $E=E\times M$
On a aussi $x+y=1$$E\times M=\begin{pmatrix} x& y \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0,7&0,3\\ 0,15&0,85 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,7x+0,15y&0,3x+0,85y \end{pmatrix}$
$E=E\times M$
On doit donc avoir $x=0,7x+0,15y$ et $y=0,3x+0,85y$
On a de plus $x+y=1$.
Il faut résoudre le système d'équations suivant par substitution:
$\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ 0,7x+0,15(1-x)=x \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ 0,7x+0,15-0,15x=x \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ 0,7x-0,15x-x=-0,15 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ -0,45x=-0,15 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ x=\dfrac{15}{45} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1-x\\ x=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x+y=1\\ 0,7x+0,15y=x \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=\dfrac{2}{3}\\ x=\dfrac{1}{3} \end{cases}$
Cela signifie qu'après un grand nombre de jours, on a $\dfrac{1}{3}$ des touristes qui choisissent le minibus.
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice en saisissant les matrices $M$ et $E$ et en calculant $E\times M$
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