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On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par $\begin{cases} a_0=1\\ a_{n+1}=2a_n-3b_n~~pour~~n\in\mathbb{N} \end{cases}$
et $\begin{cases} b_0=2\\ b_{n+1}=a_n+5b_n~~pour~~n\in\mathbb{N} \end{cases}$
On note $(U_n)$ la suite de matrices définies par $U_n=\begin{pmatrix} a_n\\b_n\end{pmatrix}$ pour $n\in \mathbb {N}$.
  1. Déterminer une $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.

    Produit de deux matrices


    Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
    Schématiquement on a:
    La matrice $A$ est donc une matrice carrée $2\times 2$
    Ecrire une égalité de deux matrices et identifier les coefficients
    $U_n$ est une matrice ayant 2 lignes donc $A$ devra avoir 2 colonnes pour pouvoir effectuer le produit $AU_n$.
    Le produit est $U_{n+1}$ matrice avec deux lignes donc $A$ devra avoir 2 lignes
    On cherche donc une matrice $A$ de dimensions $2\times 2 $ .
    On pose $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
    $AU_n=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a_n\\b_n \end{pmatrix}$
    $~~~~=\begin{pmatrix} aa_n+bb_n\\ca_n+db_n \end{pmatrix}$
    et $U_{n+1}=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a_n-3b_n\\a_n+5b_n \end{pmatrix}$
    $U_{n+1}=AU_n\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} 2a_n-3b_n\\a_n+5b_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} aa_n+bb_n\\ca_n+db_n \end{pmatrix}$
    donc $a=2$, $b=-3$, $c=1$ et $d=5$
  2. Donner $U_0$ et montrer par récurrence alors que $U_n=A^nU_0$

    Raisonnement par récurrence


    On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
    • $P_0$ vraie
    • Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
    • On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    $U_0=\begin{pmatrix} a_0\\b_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$
    On note $P_n$ la propriété $U_n=A^nU_0$.
    Initialisation (propriété $P_0$)
    $U_0=A^0U_0=I_2U_0=U_0$
    Hérédité
    On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que $U_k=A^kU_0$ et on veut montrer que $U_{k+1}=A^{k+1}U_0$
    $U_{k+1}=AU_k=A\times A^kU_0=A^{k+1}U_0$


    On peut assimiler ceci à une suite géométrique de premier terme $U_0$ et de raison $A$ et alors $U_n=A^nU_0$ (par analogie avec la relation $U_n=U_0\times q^n$)

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