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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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On donne la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&7\\ 1&2\\ \end{pmatrix}$
  1. $A$ est-elle inversible? ($A^{-1}$ existe-t-elle?)

    Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2


    Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
    le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}
    Il faut que le déterminant soit non nul
    $4\times 2-7\times 1=1\neq 0$
    \res {donc $A$ est inversible.
  2. Montrer que la matrice $B=\begin{pmatrix} 2&-7\\ -1&4 \end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $A$.

    Matrice identité


    La matrice carrée identité d'ordre $n$ notée $I_n$ est la matrice diagonale dont tous les coefficients de la diagonale sont égaux à 1.
    Si $A$ est une matrice $n\times p$, on a $AI_p=A$ et $I_nA=A$.
    Par exemple $I_2=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$, $I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$

    Inverse d'une matrice carrée d'ordre $n$


    Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$, $A$ est un inversible s'il existe une matrice carrée d'ordre $n$ notée $A^{-1}$ telle que $A\times A^{-1}=I_n$
    Il faut vérifier que $A\times B=I_2=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}
    $A\times B=\begin{pmatrix} 4&7\\ 1&2\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&-7\\ -1&4 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A\times B}=\begin{pmatrix} 4\times 2+7\times (-1)&4\times (-7)+7\times 4\\ 1\times 2+2\times (-1)&1\times (-7)+2\times 4 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A\times B}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A\times B}=I_2$

    Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice

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