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Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ dans chaque cas.
  1. $z=-3$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

    Forme exponentielle


    $z$ est un complexe d'argument $\alpha$
    La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$
    $z$ est réel donc s'écrit sous la forme $|z|cos(\alpha)$
    $|z|=3$ donc $cos(\alpha)=-1$ soit $\alpha=\pi (2\pi)$
    $z=3cos\left(\pi \right)$
    donc $z=3\left(cos\left(\pi\right)+isin\left(\pi\right)\right)$
  2. $z=-2\sqrt{3}-2i$
    Il faut calculer $|z|$
    $|z|=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
    $z=4\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}-i\dfrac{2}{4}\right)$
    $\phantom{z}=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{-5\pi}{6}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).

  3. $z=\dfrac{i-1}{4}$
    $z=\dfrac{i-1}{4}=\dfrac{-1}{4}+\dfrac{i}{4}$
    $|z|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
    $z=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $
    donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Déterminer la forme trigonométrique

- calcul du module
- calcul de l'argument
- exemples


infos: | 15-20mn |

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