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On pose $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$ défini pour $z\in \mathbb{C}$.
  1. Calculer $P(-1-i)$
    On peut écrire $(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$ pour développer $z^3$.
    $(-1-i)^2=(-1)^2+2\times (-1)\times (-i)+(-i)^2=1+2i-1=2i$
    $(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$
    $\phantom{(-1-i)^3}=2i(-1-i)=-2i-2i^2=2-2i$

    $P(-1-i)=(-1-i)^3+i(-1-i)^2-i(-1-i)+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=2-2i+i\times 2i+i+i^2+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=2-2i-2+i-1+1+i$
    $\phantom{P(-1-i)}=3-3-2i+2i$
    $\phantom{P(-1-i)}=0$
  2. On peut donc factoriser $P(z)$ par $z-(-1-i)=z+1+i$.
    Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z+1+i)(az^2+bz+c)$ pour tout complexe $z$.
    Il faut développer l'expression $(z+1+i)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients de $z^3$, de $z^2$, $z$ et la constante.
    $P(z)=(z+1+i)(az^2+bz+c)$
    $\phantom{P(z)}=az^3+bz^2+cz+az^2+bz+c+aiz^2+biz+ci$
    $\phantom{P(z)}=az^3+bz^2+az^2+aiz^2+bz+cz+biz+c+ci$
    $\phantom{P(z)}=az^3+(b+a+ai)z^2+(b+c+bi)z+c+ci$ et on a $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$ donc par identification des coefficients on a:
    $\begin{cases} a=1\\ b+a+i=i\\ b+c+bi=-i\\ c+ci=1+i \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\ -1+c-i=-i\\ c(1+i)=1+i \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\ c=1\\ c=1 \end{cases}$
  3. En déduire les solutions de $P(z)=0$.

    Équations du second degré à coefficients réels


    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
    Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ obtenue à la question 2 et un produit de facteurs nul.
    $P(z)=0 \Longleftrightarrow (z+1+i)(z^2-z+1)=0\Longleftrightarrow z+1+i=0$ ou $z^2-z+1=0$
    $z+1+i=0 \Longleftrightarrow z=-1-i$
    Résolution de $z^2-z+1=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 1=1-4=-3$
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{ 1+i\sqrt{3} }{2 }$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}= \dfrac{1-i\sqrt{3} }{2 }$
    donc $P(z)=0$ admet trois solutions dans $\mathbb{Z}$.


    Penser à contrôler avec la calculatrice MENU équations puis saisir les coefficients. Penser à passer en mode complexe (casio: SHIFT SETUP puis COMPLEXE MODE)

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