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On donne $z=2+3i$ et $z'=-2+4i$.
Calculer les expressions suivantes en donnant la forme algébrique du résultat.
penser à contrôler avec la calculatrice
  1. $zz'$
    Il faut développer et réduire comme avce des réels et sachant que $i^2=-1$
    $zz'= (2+3i)(-2+4i)$.
    $\phantom{zz'}=-4+8i-6i+12i^2$
    $\phantom{zz'}=-4+2i-12$
    $\phantom{zz'}=-16+2i$
  2. $z^2~\overline{z'}$

    conjugué d'un complexe


    Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
    Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$
    $z^2~\overline{z'}= (2+3i)^2\times (\overline{-2+4i})$
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (4+2\times 2\times 3i+(3i)^2)\times (\overline{-2+4i})$
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (4+12i-9)\times (\overline{-2+4i})$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (-5+12 i)(-2-4i)$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 10+20i-24i-48i^2$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 10-4i+48$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 58-4i$.
  3. $\dfrac{\overline{z}}{3iz'}$

    Suppression des complexes au dénominateur


    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$
    $\dfrac{\overline{z}}{3iz'}= \dfrac{\overline{2+3i}}{3i(-2+4i)}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{2-3i}{-6i+12i^2}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{2-3i}{-6i-12}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{(2-3i)(-12+6i)}{(-12+6i)(-12-6i)}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-24+12i+36i-18i^2}{12^2+6^2}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-24+48i+18}{180}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-6+48i}{180}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{6(-1+8i)}{6\times 30}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-1+8i}{30}$

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