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On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.
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On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.
- Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-0=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-4=-1\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=0-1=-1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=2-0=2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-1-4=-5\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-2-1=-3 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ -3 \end{pmatrix} $
$2x_{\overrightarrow{AB}}=2\times 1=2=x_{\overrightarrow{AC}}$
$2y_{\overrightarrow{AB}}=2\times (-1)=-2\neq y_{\overrightarrow{AC}}$
donc il n'existe aucun réel $k$ tel que $k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires
- Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur
$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
2\\
- 1
\\
3\end{pmatrix}$.
- Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Il faut vérifier que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1 \\ 3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ -3 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB}=2\times 1+(-1)\times (-1)+3\times (-1)= 2+1-3=0$
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AC}=2\times 2+(-1)\times (-5)+3\times (-3)= 4+5-9=0$
donc le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs (puisque $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés) du plan $(ABC)$
- En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur normal au plan $(ABC)$ et les coordonnées de $A$ pour calculer $d$Le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ donc est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme $2x-y+3z+d=0$
$A \in (ABC) \Longleftrightarrow 2x_A-y_A+3z_A+d=0$
$\phantom{A \in (ABC)} \Longleftrightarrow -4+3+d=0$
$\phantom{A \in (ABC)} \Longleftrightarrow d=1$
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $D(7;-1;4)$Le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $D\in \Delta$
Si $M(x;y;z)$ appartient à $\Delta$ on a alors:
$\begin{cases} x=x_D+tx_{\overrightarrow{u}}=7+2t\\ y=y_D+ty_{\overrightarrow{u}}=-1-t\\ z=z_D+tz_{\overrightarrow{u}}=4+3t \end{cases}$
- Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$
Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(ABC)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $\Delta$.Un point $M(x;y;z)$ appartient à $(ABC)$ si ses coordonnées vérifient $2x-y+3z+1=0$
La représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=7+2t\\ y=-1-t\\ z=4+3t \end{cases}$ et en remplaçant $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $(ABC)$ obtenue, on a:
$2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0 \Longleftrightarrow 14+4t+1+t+12+9t+1=0$
$\phantom{2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0} \Longleftrightarrow 28+14t=0$
$\phantom{2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0} \Longleftrightarrow t=-2$
En remplaçant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$, on obtient:
$\begin{cases} x_H=7+2t=7+2\times (-2)=3\\ y_H=-1-t=-1-(-2)=1\\ z_H=4+3t=4+3\times (-2)=-2 \end{cases}$
Penser à contrôler que les coordonnées de $H$ vérifient l'équation de $(ABC)$. - Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
- Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
- Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
- Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
Il faut vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles donc que les vecteurs normaux respectifs de $P_1$ et $P_2$ ne sont pas colinéaires$\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P_1$
et $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P_2$
$x_{\overrightarrow{n_1}}=x_{\overrightarrow{n_2}}$
mais $y_{\overrightarrow{n_1}}\neq y_{\overrightarrow{n_2}}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires
donc $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles
- Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique
$\begin{cases}
x=-4t-2\\
y =t\\
z = 3t + 2
\end{cases}$ avec $ t \in \mathbb{R}$.
Les points d'intersection de $P_1$ et $P_2$ vérifient les équations des deux plans.
On peut exprimer $x$ et $z$ en fonction de $y$ par exempleLes points d'intersection de $P_1$ et $P_1$ vérifient les équations des deux plans donc on a:
$\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=-x-y\\ x=-4y-2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=-(-4y-2)-y\\ x=-4y-2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=3y+2\\ x=-4y-2 \end{cases}$
En posant $y=t$, on a alors:
$\begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2 \end{cases}$
- La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
Si $d$ est parallèle à $(ABC)$, un vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $(ABC)$$\begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2 \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite $d$ donc $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$ (coefficients de $t$) est un vecteur directeur de $d$.
$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u}=-4\times 2+1\times (-1)+3\times 3=-8-1+9=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux
- Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Equation cartésienne d'un plan
- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans
infos: | 15-20mn |
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