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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
  1. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(2;0,3)$ et $B(-1;2;0)$

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace


    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-2=-3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=2-0=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=0-3=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ 2\\ -3 \end{pmatrix} $
    Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$, on a alors:
    $\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}=2-3t\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}=0+2t\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}}=3-3t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$
  2. La droite $(d)$ est définie par son équation paramétrique ci-dessous;
    $\begin{cases} x=4+2k\\ y=1-k\\ z=-2+k \end{cases}$ avec $k\in \mathbb{R}$
    Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles sécantes? si elles le sont, déterminer les coordonnées du point d'intersection.
    Il faut déterminer si les vecteurs directeurs de $(AB)$ et $(d)$ sont colinéaires.
    Ensuite, si $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas parallèles, il faut déterminer si elles sont sécantes.
    $\begin{cases} x=4+2k\\ y=1-k\\ z=-2+k \end{cases}$ avec $k\in \mathbb{R}$ est une équation paramétrique de $(d)$ donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$ (coefficients de $k$).
    et on a $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3\\ 2\\ -3 \end{pmatrix} $
    On a alors $-2y_{\overrightarrow{u}}=y_{\overrightarrow{AB}}$ et $-3z_{\overrightarrow{u}}=z_{\overrightarrow{AB}}$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires et donc les droites $(d)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    Recherche d'un point d'intersection s'il existe (si les deux droites sont sécantes):
    $M(x;y;z)$ appartient à $(d)$ et $(AB)$ si le système d'équations ci-dessous admet une solution:
    $\begin{cases} 2-3t=4+2k\\ 2t=1-k\\ 3-3t=-2+k \end{cases}$
    recherche de $t$ et $k$ avec les deux première équations:
    $\begin{cases} 2-3t=4+2k\\ 2t=1-k \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -3t-2k=2\\ k=1-2t \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} 2-3t=4+2k\\ 2t=1-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -3t-2(1-2t)=2\\ k=1-2t \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2-3t=4+2k\\ 2t=1-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=4\\ k=1-2\times 4 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2-3t=4+2k\\ 2t=1-k \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} t=4\\ k=-7 \end{cases}$
    On vérifie alors que la troisième égalité ($3-3t=-2+k$) est vraie avec les valeurs de $t$ et $k$ obtenues:
    $3-3t=3-3\times 4=3-12=-9$ et $-2+k=-2-7=-9$
    donc il existe un couple de réel $(k;t)=(4;-7)$ solution du système d'équations donc $(AB)$ et $(d)$ sont sécantes.
    Pour $t=4$ avec une équation paramétrique de $(AB)$ on a:
    $\begin{cases} x=2-3t=2-3\times 4=-10\\ y=2t=2\times 4=8\\ z=3-3t=3-3\times 4=-9 \end{cases}$

    Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas obligatoirement sécantes.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Représentation paramétrique d'une droite

- vecteur directeur
- déterminer une représentation paramétrique
- déterminer si deux droites sont parallèles ou orthogonale
- calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes


infos: | 20-25mn |

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