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Une compagnie d'assurance veut fixer le montant de la cotisation versée par ses assurés pour une assurance vie.
On s'intéresse aux assurés âgés de plus 40 ans.
La prime versée en cas de décès est de 150 000 euros.
Une étude statistique a montré que la probabilité qu'un assuré âgé de 40 ans décède dans l'année est de $0,002$.
  1. Quel doit être le montant minimum de la cotisation versée par les assurés pour que la compagnie d'assurance ne soit pas en déficit?

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    Déterminer la variable aléatoire et sa loi de probabilité en utilisant l'inconnue $p$ correspondant au montant de la cotisation.
    On pose $p$ le montant de la cotisation annuelle versée par les assurés à la compagnie d'assurance et $X$ la variable aléatoire correspondant au bénéfice réalisé par la compagnie d'assurance pour un assuré.
    $X$ peut prendre les valeurs $p-150000$ et $p$.
    La loi de probabilité de $X$ est donc la suivante:

    $E(X)=p\times 0,998+(p-150000)\times 0,002=0,998p+0,002p-300=p-300$
    La compagnie d'assurance n'est pas en déficit si $E(X)\geq 0$
    $E(X)\geq 0\Longleftrightarrow p-300 \geq 0\Longleftrightarrow p \geq 300$
  2. On décide finalement de fixer le montant de la cotisation annuelle à 400 euros.
    Calculer l'espérance et l'écart type de cette variable aléatoire.
    Donner la signification de l'espérance.
    il faut refaire le tableau de la loi de probabilité
    On a alors $p=400$:

    $E(X)=400\times 0,998-149600\times 0,002=100$
    $V(X)=400^2\times 0,998+(-149600)^2\times 0,002-E(X)^2=44910000$
    $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\approx 6701,5$

    Le bénéfice moyen annuel de la compagnie d'assurance par client sera de 100 euros.

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