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Une entreprise possède 50 ordinateurs.
La probabilités qu'un ordinateur tombe en panne est de $0,01$.
On suppose que le fonctionnement d'un ordinateur est indépendant des autres.
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La probabilités qu'un ordinateur tombe en panne est de $0,01$.
On suppose que le fonctionnement d'un ordinateur est indépendant des autres.
- Justifier que la variable aléatoire $X$ correspondant au nombre d'ordinateurs en panne suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.$X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre d'ordinateurs en panne.
$X$ peut prendre toute valeur entière comprise entre 0 et 50 soit l'ensemble $\left\lbrace 0;1;2..........;49;50\right\rbrace $
On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à prendre un ordinateur au hasard parmi les 50 ordinateurs de l'entreprise et ayant les issues possibles $S$: "l'ordinateur est en panne" et $E=\overline{S}$: "l'ordinateur n'est pas en panne".
On a $p(S)=0,01$ et $p(E)=1-0,01=0,99$.
Ces ordinateurs étant indépendants les uns des autres, la loi de probabilité de $X$ suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,01 notée aussi $\mathcal{B}(50;0,01)$.
- Calculer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne.
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$Si qucun ordinateur n'est en panne, on a $X=0$On veut calculer $p(X=0)$:
$p(X=0)=\begin{pmatrix} 50\\ 0\\ \end{pmatrix}\times 0,01^0\times 0,99^{50}=0,99^{50}\approx 0,605$
- Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
- Calculer la probabilité de l'événement E: "au moins un ordinateur est en panne".
Au moins un ordinateur est en panne correspond à $X\geq 1$ et est le contraire de $X < 1$ soit $X=0$L'événement E: "au moins un ordinateur est en panne" est le contraire de l'événement $F$:" Aucun ordinateur n'est en panne" c'est à dire tous fonctionnent.
$p(E)=p(X\geq 1)$ et $p(F)=p(X=0)$
donc $p(E)=p(\overline{F})=1-p(F)=1-p(X=0)=1-0,99^{50}\approx 0,395$
- Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$$E(X)=50\times 0,01=0,5$
Cela signifie qu'en moyenne, il y a 0,5 ordinateur en panne parmi les 50 dans l'entreprise.
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