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Dans un magasin de vente de matériel informatique, on a vendu 10 ordinateurs portables le même jour.
Ces ordinateurs sont garantis 2 ans et on a constaté que 5 des ordinateurs vendus tombaient en panne pendant la période de garantie.
On note $X$ le nombre d'ordinateur qui tombent en panne pendant la garantie parmi les 10 vendus.
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Ces ordinateurs sont garantis 2 ans et on a constaté que 5 des ordinateurs vendus tombaient en panne pendant la période de garantie.
On note $X$ le nombre d'ordinateur qui tombent en panne pendant la garantie parmi les 10 vendus.
- Justifier que la loi de probabilité de $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles que l'on notera pour la suite $S$ et $E=\overline{S}$.
La répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes est appelé un schéma de Bernouilli.Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$Déterminer l'épreuve de Bernoulli répétée et les issues possibles ainsi que la probabilité de chacune des issues.
Vérifier l'indépendance de ces épreuves
ConclureOn considère l'épreuve de Bernoulli consistant à prendre au hasard un ordinateur avec les issues possibles $S$: "l'ordinateur tombe en panne pendant la garantie" et $E=\overline{S}$.
On a alors $p(S)=\dfrac{5}{100}=0,05$
Chaque ordinateur fonctionne de manière indépendante et on répète 10 fois successivement cette épreuve de Bernoulli.
On a donc un schéma de Bernoulli avec $n=10$ et $p=0,05$
donc la variable aléatoire $X$ donnant le nombre d'ordinateurs en panne suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,05$ notée $\mathcal{B}(10;0,05)$.
- Calculer la probabilité, arrondie aux centièmes, que 3 ordinateurs sur les dix tombent en panne.
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$On veut $X=3$ soit trois ordinateurs en panne
Il faut utiliser les coefficients binomiauxOn veut calculer $p(X=3)$ puisque $X$ donne le nombre d'ordinateurs en panne parmi les dix.
$\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}=\dfrac{10!}{3!(10-3)!}=\dfrac{10!}{3!7!}=\dfrac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$
$p(X=3)=\begin{pmatrix} 10\\ 3 \end{pmatrix}\times 0,05^3\times (1-0,05)^7=120\times 0,05^3\times 0,95^7\approx 0,01$
- Calculer la probabilité, arrondie aux millièmes, qu'au moins un des ordinateurs tombe en panne.
On veut au moins un ordinateur en panne soit $X\geq 1$
Or $X\geq 1$ est le contraire de $X< 1$ soit $X=0$ (aucun ordinateur en panne)On veut au moins un ordinateur en panne soit $X\geq 1$
L'événement "au moins un ordinateur tombe en panne" est le contraire de "aucun ordinateur ne tombe en panne" soit $X=0$.
$p(X=0)=p(E)^{10}=0,95^{10}$
$p(X\geq 1)=p(X=1)+p(X=2)+.....+p(X=10)$
$\phantom{p(X\geq 1)}=1-p(X=0)$
$\phantom{p(X\geq 1)}=1-0,95^{10}$
$\phantom{p(X\geq 1)}\approx 0,401$
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