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Calculer les intégrales suivantes:
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
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penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
- $\int_0^2 2x-1 dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$Il faut chercher une primitive de $2x-1$Si on pose $f(x)=2x-1$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
$F(x)=x^2-x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En effet $F'(x)=2x-1=f(x)$.
$F(0)=0^2-0=0$
et $F(2)=2^2-2=2$
$\int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=2-0=2$
- $\int_0^2 2x^2-3 dx$
Primitives des fonctions usuelles
Il faut chercher une primitive de $x^2-3$Si on pose $f(x)=x^2-3$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En effet $F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-3=x^3-3$.
$F(0)=\dfrac{0^3}{3}-3\times 0=0$
et $F(2)=\dfrac{2^3}{3}-3\times 2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}=\dfrac{-10}{3}$
$\int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=\dfrac{-10}{3}-0=\dfrac{-10}{3}$
Contrôle avec la calculatrice
Avec une TI, la syntaxe est int(fonction, variable,borne inférieure, borne supérieure) - $\int_1^e \dfrac{2}{x} dx$
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Il faut chercher une primitive de $2\times \dfrac{1}{x}$Si on pose $f(x)=\dfrac{2}{x}$ on a $f$ continue sur $[1;e]$ donc $f$ admet des primitives sur $[1;e]$.
$F(x)=2ln(x)$ est une primitive de $f$ sur $[1;e]$.
En effet $F'(x)=2\times \dfrac{1}{x}=f(x)$
$F(1)=2ln(1)=0$ (rappel $ln(1)=0$)
et $F(e)=2ln(e)=2$ (rappel $ln(e)=1$)
$\int_1^e f(x)dx=[F(x)]_1^e=F(e)-F(1)=2-0=2$
penser à contrôler avec la calculatrice - $\int_{-2}^0 e^x dx$
Si on pose $f(x)=e^x$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[-2;0]$.
$F(x)=e^x$ est une primitive de $f$ sur $[-2;0]$.
En effet $F'(x)=e^x=f(x)$
$F(-2)=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$
et $F(0)=e^0=1$
$\int_{-2}^0 f(x)dx=[F(x)]_{-2}^0=F(0)-F(-2)=1-\dfrac{1}{e^2}$
penser à contrôler avec la calculatrice
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs d'intégrales
- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties
infos: | 20mn |
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