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$f$ est une fonction continue sur $I$.
$F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$.
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$F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$.
- Déterminer $F'(x)$ et $G'(x)$
Primitive d'une fonction
$F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$$F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$.
- On pose $H(x)=F(x)-G(x)$.
Calculer $H'(x)$.$H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$
- En déduire que $G(x)=F(x)+C$ avec $C$ constante réelle.
- Application: $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2$.
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $ \mathbb{R}$ et en déduire la primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(1)=3$.Primitives des fonctions usuelles
$F(x)=x^3$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
car $F'(x)=3x^2=f(x)$
On a donc $G(x)=F(x)+C$ avec $C\in \mathbb{R}$ primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
or $G(1)=2\Longleftrightarrow 1^3+C=2 \Longleftrightarrow C=1$
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