Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
La fonction $f$ est définie sur $D_f$ par $f(x)=3x-3ln\left(e^x+1\right)$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
- Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
- Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer $f'(x)$.
Équations et inéquations avec exponentielle
Pour se ramener à une égalité de la forme $e^A=e^B$ on utilise $e^{ln(a)}=a$ ($a > 0$).
Par exemple:
$e^{x+1}=3 \Longleftrightarrow e^{x+1}=e^{ln(3)}$
$~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x+1=ln(3)$
$~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x=ln(3)-1$On pose $u(x)=e^x+1$ et on a $f(x)=3x-3ln(u(x))$On pose $u(x)=e^x+1$ dérivable sur $D_f=\mathbb{R}$ avec $u(x)>0$
donc $-3ln(u)$ est dérivable sur $D_f$.
Si on pose $v(x)=3x$ on a $v$ dérivable sur $D_f$
donc la somme $f=v-3ln(u)$ est dérivable sur $D_f$
$u'(x)=e^x+0=e^x$
$f'(x)=v'(x)-3\dfrac{u'(x)}{u(x)}=3-3\dfrac{e^x}{e^x+1}$
- En déduire le sens de variation de $f$ sur $D_f$.
- Calculer $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveOn pose $v(x)=e^x+1$On pose $v(x)= e^x+1 $ et $v(x)= e^x $
$f'(x)=3\times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=3\times \dfrac{-e^x}{( e^x+1 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{-3e^x}{( e^x+1 )^2}$
$e^x>0$ donc $e^x+1>1$ et $-3e^x < 0$
donc $f''(x)<0$
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.