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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=aln(x)+bx$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
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On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
- Exprimer la dérivée $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de deux fonctions dérivables).
$f'(x)=a\times \dfrac{1}{x}+b$
- $C_f$ admet une tangente d'équation $y=-x-2$ au point de la courbe d'abscisse 1.
Déterminer $a$ et $b$.Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut écrire deux équations en utilisant le coefficient directeur de la tangente et les coordonnées du point de contact de la tangente et de $C_f$.Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est $f'(1)$ et vaut $-1$.
$f'(1)=\dfrac{a}{1}+b=-1 \Longleftrightarrow a+b=-1$
Le point de contact de la tangente et de la courbe a pour ordonnée $y=-1-2=-3$ donc $f(1)=-3$.
On a alors $f(1)=aln(1)+b\times 1=b=-3$ (rappel $ln(1)=0$)
$b=-3$ et $a+b=-1$ soit $a-3=-1$ donc $a=2$.
- Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Limites de ln
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$Croissances comparées
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$Pour déterminer la limite en 0, on cherche la limite de chacun des deux termes de $f(x)$
en $+\infty$ la limite de la somme est indéterminée et il faut factoriser $x$ pour utiliser la limite de $\dfrac{ln(x)}{x}$ en $+\infty$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}2ln(x)=-\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}-3x=0$
Pour tout réel $x >0$ on a $f(x)=x\left(2\dfrac{ln(x)}{x}-3\right)$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2\dfrac{ln(x)}{x}=0$ et donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2\dfrac{ln(x)}{x}-3=-3$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
donc par produit on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(2\dfrac{ln(x)}{x}-3\right)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2ln(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x=-\infty$
donc la limite de la somme est bien indéterminée. - Dresser le tableau de variation de $f$.
Il faut étudier le signe de $f'(x)$$f'(x)=\dfrac{a}{x}+b$ avec $a=2$ et $b=-3$ donc $f'(x)=\dfrac{2}{x}-3=\dfrac{2-3x}{x}$
$x > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-3x$.
$2-3x >0 \Longleftrightarrow -3x >-2 \Longleftrightarrow x < \dfrac{2}{3}$
donc $f'(x)>0$ pour $x \in \left]0;\dfrac{2}{3}\right[$.
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=2ln\left(\dfrac{2}{3}\right)-3\times \dfrac{2}{3}=2ln\left(\dfrac{2}{3}\right)-2=2ln(2)-2ln(3)-2\approx -2,81$ - Étudier la convexité de $f$.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveDérivées usuelles
$f'(x)=\dfrac{2}{x}-3$
$f''(x)=2\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{-2}{x^2}$
donc $f''(x)<0$
- Compléter le tracé de $C_f$ dans le repère ci-dessous et tracer la tangente au point d'abscisse 1.
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