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Dans chaque cas, étudier la convexité de $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et préciser les points d'inflexion éventuels.
  1. $f(x)=-2e^x$

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    $f'(x)=-2e^x$ et $f''(x)=-2e^x$
    $e^x>0$ donc $f''(x)<0$
  2. $f(x)=e^{-3x}$

    Cas de la fonction $e^{u}$


    La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    $f'(x)=-3e^{-3x}$ et $f''(x)=-3\times (-3)e^{-3x}=9e^{-3x}$
    $e^{-x}>0$ donc $f''(x)>0$
  3. $f(x)=e^{2x}-2x^2-1$
    $f'(x)=2e^{2x}-4x$ et $f''(x)=2\times 2e^{2x}+4=4e^{2x}-4$
    $4e^{2x}-4>0$
    $\Longleftrightarrow 4e^{2x}>4$
    $\Longleftrightarrow e^{2x}>1$
    $\Longleftrightarrow e^{2x}>e^0$
    $\Longleftrightarrow 2x>0$
    $\Longleftrightarrow x>0$
    donc $f''(x)>0$ sur $]0;+\infty[$

    donc $C_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $f(0)=e^0-2\times 0^2+1=2$ (rappel $e^0=1$)

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