MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Dérivation-continuité-convexité

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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3-\dfrac{9}{2}x^2-10x$

Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$

Rappel de cours

Dérivées usuelles

Solution

$f(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^3-\dfrac{9}{2}x^2-10x$
$f'(x)=\dfrac{4x^3}{4}+3x^2-\dfrac{9}{2}\times 2x-10=x^3+3x^2-9x-10$
$f''(x)=(f'(x))'=3x^2+3\times 2x-9+0=3x^2+6x-9$
En déduire la convexité de $f$ en précisant, s'il y en a, les coordonnées des points d'inflexion.

Rappel de cours

Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.

Aide

On peut dresser le tableau de signe de $f"$ puis en déduire les variations de $f'$
Pour étudier le signe de $f''(x)$, il faut cherchjer les racines du polynôme du second degré.

Solution

$f''(x)=3x^2+6x-9$
Recherche des racines de $3x^2+6x-9$
$\Delta=b^2-4ac=36-4\times 3\times (-9)=144$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6-12}{6}=-3$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6+12}{6}=1$

La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x=-3$ puis en $x=1$
donc la courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion au point $B$ de coordonnées $(-3;f(-3))$ et au point $A$ de coordonnées $(1;f(1))$
avec $f(-3)=\dfrac{(-3)^4}{4}+(-3)^3-\dfrac{9}{2}\times (-3)^2-10\times (-3)=\dfrac{-69}{4}=-17,25$
et $f(1)=\dfrac{1^4}{4}+1^3-\dfrac{9}{2}\times 1^2-10\times 1=\dfrac{-53}{4}=-13,25$

Penser à contrôler les racines obtenues avec le MENU EQUA puis POLY puis degré 2 et entrer les coefficients $a=3$, $b=6$ et $c=-9$.fat

Avec $x=1$, on remarque que $3+6-9=0$ et le produit des racines $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
soit ici $1\times x_2=\dfrac{-9}{3}=-3$
Contrôler graphiquement le résultat obtenu en traçant la courbe représentative de $f$ sur la calculatrice ou bien avec GEOGEBRA.

Aide

Dans la barre de saisie, entrer la fonction $f$.
Dans la barre de saisie, en utilisant TANGENTE[abscisse, fonction] vérifier que les points A et B sont des points d'inflexion et la courbe est en-dessous de ses tangentes sur $]-3;1[$

Solution

Saisir l'expression de $f$ dans la barre de saisie puis tracer la tangente en A par exemple en saisissant TANGENTE[$-3$,$f$].
Courbe et tangentes respectivement aux points A et B: