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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$par $f(x)=e^{3x-1}+x$
  1. Calculer la dérivée de $f$.

    Cas de la fonction $e^{u}$


    La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
    On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$
    On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)+x$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+1=e^{3x-1}\times 3=3e^{3x-1}+1$
  2. En déduire les variations de $f$.
    Il faut étudier le signe de la dérivée
    Rappel: $e^x>0$ pur tout réel $x$
    $e^{3x-1}>0$ pour tout réel $x$
    donc $3e^{3x-1}>0$ et donc $3e^{3x-1}+1>1>0$

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