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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$par $f(x)=e^{3x-1}+x$
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- Calculer la dérivée de $f$.
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)+x$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+1=e^{3x-1}\times 3=3e^{3x-1}+1$
- En déduire les variations de $f$.
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