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Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 2 \rbrace$.

    Cas d'indétermination


    $+\infty-\infty$
    $0\times \pm \infty$
    $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
    $\dfrac{0}{0}$
    Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...
    En $-\infty$ et $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur soit $x^2$ au numérateur et $x$ au dénominateur.
    $f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}$ (termes de plus haut degré en facteur)
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{x \left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)}{1-\dfrac{2}{x}}$
    Limite en $-\infty$
    Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x=-\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=-\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$


    Limite en $+\infty$
    Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x^3+3x+6}$ définie sur $\mathbb{R}$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu (asymptote).

    limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique


    La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

    La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
    En $-\infty$ et $+\infty$, il y a un cas d'indétermination (quotient de deux limites infinies) donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur soit $x^2$ au numérateur et $x$ au dénominateur.
    $f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)}$ (termes de plus haut degré en facteur)
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{1-\dfrac{2}{x^2}}{x\left(1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)}$
    Limite en $-\infty$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x=-\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x\left(1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=-\infty$


    Limite en $+\infty$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(1+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{6}{x^3}\right)=+\infty$

    L'axe des abscisses est donc une asymptote à la courbe en $+\infty$.

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