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  1. On pose $f(x)=e^x-x$ définie sur $[0;+\infty[$.
    1. Déterminer le sens de variation de $f$

      Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


      La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

      La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
      Il faut calculer la dérivée de $f$ et déterminer son signe.
      $f'(x)=e^x-1$
      $e^x-1\geq 0\Longleftrightarrow e^x\geq 1 \Longleftrightarrow x\geq 0$ (rappel $e^0=1$)
      donc $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
    2. Calculer $f(0)$.
      rappel $e^0=1$
      $f(0)=e^0-0=1-0=1$
    3. En déduire le signe de $f(x)$ pour $x\geq 0$.
      On a $f$ croissante
      $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$
      donc $f(x)\geq f(0)$ et on a $f(0)=1$
  2. La fonction $\varphi$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$
    Calculer la dérivée de $\varphi$ et déterminer son sens de variation.
    On a $e^x-x=f(x)$ et $f(x)>0$ sur $[0;+\infty[$
    $\varphi'(x)=e^x-\dfrac{2x}{2}=e^x-x=f(x)$
    Sur $]0;+\infty[$ on a $f(x)>0$.
    donc $\varphi'(x)>0$
  3. Calculer $\varphi(0)$ et en déduire le signe de $\varphi(x)$.
    rappel $\varphi$ est croissante
    $\varphi(0)=e^0-\dfrac{0^2}{2}=1$ (rappel $e^0=1$)
    $\varphi$ strictement croissante sur $\R$ et
  4. En déduire que $\dfrac{e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$ pour tout réel $x>0$ et en déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}$
    On ne change pas le sens d'une inégalité quand on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre strictement positif
    Pour tout réel $x>0$ on a $\varphi(x)>0$
    soit $e^x-\dfrac{x^2}{2} >0$ donc $e^x > \dfrac{x^2}{2}$
    En divisant chacun des membres par $x>0$ on a alors $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty$

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