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- On pose $f(x)=e^x-x$ définie sur $[0;+\infty[$.
- Déterminer le sens de variation de $f$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Il faut calculer la dérivée de $f$ et déterminer son signe.$f'(x)=e^x-1$
$e^x-1\geq 0\Longleftrightarrow e^x\geq 1 \Longleftrightarrow x\geq 0$ (rappel $e^0=1$)
donc $f'(x)\geq 0$ sur $[0;+\infty[$
- Calculer $f(0)$.
- En déduire le signe de $f(x)$ pour $x\geq 0$.
- Déterminer le sens de variation de $f$
- La fonction $\varphi$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$
Calculer la dérivée de $\varphi$ et déterminer son sens de variation. - Calculer $\varphi(0)$ et en déduire le signe de $\varphi(x)$.
- En déduire que $\dfrac{e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$ pour tout réel $x>0$ et en déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}$
On ne change pas le sens d'une inégalité quand on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre strictement positifPour tout réel $x>0$ on a $\varphi(x)>0$
soit $e^x-\dfrac{x^2}{2} >0$ donc $e^x > \dfrac{x^2}{2}$
En divisant chacun des membres par $x>0$ on a alors $\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x}{2}=+\infty$
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