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Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?
On peut faire fonctionner "à la main" l'algorithme pour $N=3$ par exemple.
On peut aussi saisir cet algorithme dans le MENU programme de la calculatrice pour déterminer les valeurs de sortie...
Si on saisit par exemple $N=3$, on a:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Action& valeur de $U$&valeur de $k$\\ \hline Initialisation&0&3\\ \hline Entrée dans la boucle POUR&&\\ &$U=3\times 0-2\times 0+3=3$ (calcul de $u_1$)&$k=0$\\ Fin de la boucle POUR&&\\ \hline Entrée dans la boucle POUR &$U=3$&$k=1$\\ &$U=3\times 3-2\times 1+3=10$ (calcul de $u_2$)&$k=1$\\ Fin de la boucle POUR&&\\ \hline Entrée dans la boucle POUR&$U=10$&$k=2$\\ &$U=3\times 10-2\times 2+3=29$ (calcul de $u_3$)&\\ Fin de la boucle POUR&&\\ \hline On a $k=N-1$ soit $k=2$&$U=29$&$k=2$\\ On affiche $U=29$&&\\ \hline \end{tabular}

Partie B
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    On prend $n=0$ puis $n=1$ dans la relation $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$
    En prenant $n=0$ dans la relation $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$, on a:
    $u_1=u_{0+1}=3u_0-2\times 0+3=0-0+3=3$
    En prenant $n=1$ dans la relation $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$, on a:
    $u_2=u_{1+1}=3u_1-2\times 1+3=3\times 3-2+3=10$

    Penser à contrôler les résultats avec la calculatrice.
    MENU RECUR puis type $a_{n+1}$ puis saisir l'expression donnée dans l'énoncé ($3a_n-2n+3$) et ne pas oublier de paramétrer dans SET le premier terme $a_0$ (ici $u_0=0$) et les indices pour lesquels on veut calculer les termes de la suites.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq n$.

      Raisonnement par récurrence


      On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
      Initialisation:
      $P_0$ est vraie
      Hérédité:
      Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
      on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
      On peu poser $P_n$ ($n\in \mathbb{N}$) la propriété $u_n\geq n$
      Initialisation: vérifier que la relation est vraie pour les premiers termes
      $P_{n+1}$ est la propriété $u_{n+1} \geq n+1$
      Pour obtenir $P_{n+1}$ à partir de $P_n$, on doit multiplier $u_n$ par 3, ajouter $-2n$ puis ajouter 3
      Pour tout entier $n$, on définit la propriété $P_n$: $u_n \geq n$.
      -Initialisation
      $u_0=0$ donc on a $u_0\geq 0$ soit $P_0$ est vraie
      $u_1=3$ donc $u_1\geq 1$ soit $P_1$ est vraie
      -Hérédité
      On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $P_n$ est vraie soit $u_n\geq n$
      $u_n\geq n$ donc $3u_n\geq 3n$
      donc $3u_n-2n\geq 3n-2n$ soit $3u_n-2n\geq n$
      En ajoutant 3 à chaque membre de l'inégalité, on obtient $3u_n-2n+3\geq n+3$
      or pour tout entier naturel $n$, on a $n+3> n+1$ donc $u_{n+1}\geq n+1$
      donc $P_{n+1}$ est vraie
      On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$
    2. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      Limites par comparaison


      $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
      Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$

      Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$
      utiliser la question précédente et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n$
      Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\geq n$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$
  2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3=2(u_n-n)+3$
    or $u_n \geq n$ donc $u_n-n\geq 0$ et $2(u_n-n)+3\geq 3 >0$
    donc $u_{n+1}-u_n>0$
  3. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

      Suite géométrique


      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
      On veut montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $v_{n+1}=kv_n$
      $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n+1$...
      On a $v_n = u_n - n +1$ donc $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) +1$ (en remplaçant $n$ par $n+1$)
      $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) +1$
      $\phantom{v_{n+1}} =3u_n-2n+3 - n-1 +1$
      $\phantom{v_{n+1}} =3u_n-3n+3$
      $\phantom{v_{n+1}} =3(u_n-n+1)$
      $\phantom{v_{n+1}} =3v_n$
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.

      Forme explicite d'une suite géométrique


      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
      On peut exprimer $v_n$ en fonction de $n$ en calculant d'abord $v_0$
      on a $v_n=u_n-n+1$ soit $u_n=v_n+n-1$
      $v_n=u_n-n+1$ donc $v_0=u_0-0+1=0+0+1=1$
      $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=1$
      donc $v_n=v_0q^n=1\times 3^n=3^n$
      Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n-n+1$
  4. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    1. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $u_n\geq 10^p$ ?

      Limite infinie


      Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
      On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$
      On peut utiliser le résultat $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
      On a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty$
      donc pour tout réel $A$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$ on a $u_n\geq A$
      Si on prend $A=10^p$, il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que pour tout entier naturel $n\geq n_0$ on a $u_n\geq 10^p$
    2. On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
    3. Justifier que $n_0\leq 3p$.
      On a $u_n\geq n$ et $u_{n+1}=3u_n-2n+3$ et on peut prendre $n=3p$
      $u_n=3^n+n-1$ et $n-1\geq 0$
      donc $u_n\geq 3^n$
      En prenant $n=3p$, on a donc $u_{3p}\geq 3^{3p}$
      de plus $3^{3p}=\left(3^3\right)^p=27^p$ et $27^p>10^p$
      donc pour $n=3p$ on a bien $u_n>10^p$
      $n_0$ étant le plus petit entier tel que $u_n>10^p$ pour tout $n\geq n_0$
    4. Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
      On utilise le MENU RECUR de la calculatrice pour afficher les termes de la suite
      En utilisant le MENU RECUR de la calculatrice et TYPE $a_{n+1}$ puis paramétrer dans SET $a_0=0$ puis les indices pour lesquels on veut afficher les termes de la suite.

      On affiche alors les termes de la suite et on cherche le premier terme tel que $u_n \geq 10^3$ donc $u_n\geq 1000$

      On a $u_6< 1000$ et $u_7> 1000$
      donc pour $n\geq n_0$ avec $n_0=7 $ on a $u_n\geq 1000$
    5. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on ait $u_n\geq 10^p$.
      Il faut utiliser une boucle TANT QUE et un compteur $n$ pour les indices avec à chaque passage dans la boucle $n+1\longrightarrow n$
      On utilise une boucle TANT QUE (avec la condition d'arrêt $u<1000$
      et un "compteur" $n$ qui permet de déterminer quel est l'indice de la suite pour lequel on fait le calcul $u_n$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques (rappels de première)

- justifier qu'une suite est arithmétique ou géométrique
- déterminer la raison et le premier terme
- variations
- somme des termes


infos: | 15mn |

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