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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}u_n$ et $u_0=-3$
  1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    On remplace $n$ successivement par les valeurs 0, 1 et 2.
    En prenant $n=0$, on a $u_{0+1}=u_1=1+\dfrac{1}{3}u_0=1+\dfrac{-3}{3}=0$
    En prenant $n=1$, on a $u_{1+1}=u_2=1+\dfrac{1}{3}u_1=1+\dfrac{0}{3}=1$
    En prenant $n=2$, on a $u_{2+1}=u_3=1+\dfrac{1}{3}u_2=1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$
  2. Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est majorée par $\dfrac{3}{2}$.

    Raisonnement par récurrence


    On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation:
    $P_0$ est vraie
    Hérédité:
    Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
    on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    On note $P_n$ la propriété $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
    On note $P_n$ la propriété $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
    -Initialisation
    On a $u_0=-3$ donc $u_0\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_0$ est vraie.
    $u_1=0$ donc $u_1\leq \dfrac{3}{2}$ donc $P_1$ est vraie.
    - On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
    On a donc $u_n\leq \dfrac{3}{2}$.
    $u_{n+1}=1+\dfrac{1}{3}u_n$
    donc $u_{n+1}\leq 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}$ et $ 1+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
    donc $u_{n+1}\leq \dfrac{3}{2}$
    donc $P_{n+1} $ est vraie.
    On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie.
  3. Montrer alors que la suite $(u_n)$ est croissante.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On peut exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$ et de $u_n$ et utiliser la question précédente ($u_n\leq \dfrac{3}{2}$)
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $u_{n+1}-u_n=1+\dfrac{1}{3}u_n-u_n=1-\dfrac{2}{3}u_n$
    $u_n\leq \dfrac{3}{2}$
    donc $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{2}$ soit $-\dfrac{2}{3}u_n\geq -1$
    on multiplie les deux membres par $-\dfrac{2}{3}$ donc l'inégalité change de sens
    donc $1-\dfrac{2}{3}u_n\geq 1-1$ (on ajoute 1 à chaque membre de l'inégalité)
    donc $u_{n+1}-u_n \geq 0$
  4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

    Limite d'une suite majorée ou minorée


    Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
    Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente
    La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac{3}{2}$
  5. On note $\ell$ la limite de la suite.
    $\ell$ vérifie $\ell=1+\dfrac{\ell}{3}$
    $\ell=1+\dfrac{\ell}{3}$
    $\Longleftrightarrow \ell-\dfrac{\ell}{3}=1$
    $\Longleftrightarrow \dfrac{2\ell}{3}=1$
    $\Longleftrightarrow \ell=\dfrac{3}{2}$

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