Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
Pour chaque cas ci-dessous, en utilisant la méthode de votre choix, étudier les variations de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$.
  1. $u_{n}=\dfrac{n+1}{n+2}$

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

    Variations suite sous forme explicite


    Si $(u_n)$ est définie sous forme explicite, on peut étudier les variations de la fonction associée $f$ telle que $u_n=f(n)$ définie sur $[0;+\infty[$.
    On pose $f$ définie pour $x\geq 0$ telle que $u_n=f(n)$
    On étudie les variations de la fonction $f$
    Si $f$ est croissante alors$(u_n)$ est croissante.
    Si $f$ est décroissante alors$(u_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de la dérivée de $f$ définie sur $[0;+\infty[$ telle que $u_n=f(n)$.
    On peut aussi étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+1}{x+2}$ (si le chapitre dérivation a été traité)
    On a alors $u_n=f(n)=\dfrac{n+1}{n+2}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
    $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (quotient de fonctions dérivables).
    On pose $u(x)=x+1 $ et $v(x)=x+2 $
    et on a $u'(x)= 1 $ et $v'(x)= 1 $
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-(x+1)}{( x+2 )^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+2-x-1}{( x+2 )^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{( x+2 )^2}$

    $(x+2)^2 > 0$ donc $f'(x) >0$

    donc $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$



    En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, on a:
    $u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+1}{(n+1)+2}=\dfrac{n+2}{n+3}$

    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}$

    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4}{(n+2)(n+3)}-\dfrac{n^2+n+3n+3}{(n+3)(n+2)}$

    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{n^2+4n+4-n^2-n-3n-3}{(n+3)(n+2)}$

    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}$

    $n\geq 0$ donc $n+3 >0$ et $n+2 >0$ donc $u_{n+1}-u_n >0$
    et donc $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. $u_{n+1}=u_n^2-3u_n+6$ et $u_0=2$

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    Il faut étudier le signe $u_{n+1}-u_n$ en étudiant le signe du polynôme du second degré $x^2-3x+6$.
    $u_{n+1}-u_n=u_n^2-3u_n+6-u_n$
    $\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n^2-4u_n+6$
    Il faut étudier le signe de $x^2-4x+6$ $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1\times 6=16-24=-8$
    $\Delta < 0$ donc il n'y a pas de racines
    et $x^2-4x+6$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
    donc $x^2-4x+6 >0 $ pour tout réel $x$
    donc $u_{n+1}-u_n > 0$
  3. $u_n=n-\dfrac{1}{n+1}$
    On peut étudier les variations de la fonction associée.
    On pose $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x+1}$
    On a alors $u_n=f(n)=n-\dfrac{1}{n+1}$ et $f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.
    On pose $v(x)=x+1$ et on a $v'(x)=1$

    $f'(x)=1-\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{-1}{(x+1)^2}$

    $\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}$

    $(x+1)^2 > 0$ donc $\dfrac{1}{(x+1)^2} > 0$

    donc $f'(x) >0$ et $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$


Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Variations d'une suite

- méthodes possibles
- exemples types
- cas des suites arithmétiques et géométriques


infos: | 10-15mn |

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.