$f'(x)=2\times (-3)e^{-3x}=-6e^{-3x}$
$e^{-3x}>0$ donc $f'(x)<0$
donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$

On pose $u(x)=x^2+2$ et $v(x)=e^{2x}$
et $u'(x)=2x$ et $v'(x)=2e^{2x}$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~~~=2xe^{2x}+(x^2+2)\times 2e^{2x}$
$~~~~~~~~=2xe^{2x}+2x^2e^{2x}+4e^{2x}$
$~~~~~~~~=e^{2x}(2x^2+2x+4)$
$~~~~~~~~=2e^{2x}(x^2+x+2)$
$e^{2x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2+x+2$
$\Delta=b^2-4ac=1-4\times 1\times 2=-7$
$\Delta <0$ donc il n'y a aucune racine
et $x^2+2x+2$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
donc $f'(x)>0$
donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$

On pose $u(x)=3e^{-2x}$ et $v(x)=x^2+1$
et $u'(x)=3\times (-2)e^{-2x}=-6e^{-2x}$ et $v'(x)=2x$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{-6e^{-2x}(x^2+1)-3e^{-2x}\times (2x)}{(x^2+1)^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{-6x^2e^{-2x}-6e^{-2x}-6xe^{-2x}}{(x^2+1)^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{e^{-2x}(-6x^2-6x-6)}{(x^2+1)^2}$
$~~~~~~~~=\dfrac{6e^{-2x}(-x^2-x-1)}{(x^2+1)^2}$
$e^{-2x}>0$ et $(x^2+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-x^2-x-1$
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times (-1)\times (-1)=1-4=-3$
$\Delta<0$ donc il n'y a aucune racine et $-x^2-x-1$ est du signe de $a=-1$ coefficient de $x^2$
donc $f'(x)<0$
donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$