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On donne un repère orthonormé, on donne $A(2;-1)$, $B(3;5)$ et $C(-4;0)$.
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- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-(-1)=6 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(1;6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-4-2=-6\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=0-(-1)=1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AC}(-6;1)$ - Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
En déduire la nature du triangle $ABC$.Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=1\times (-6)+6\times 1$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-6+6$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux
- On donne $D(5;y)$, calculer $y$ pour que $ABD$ soit un triangle rectangle en $B$.
Il faut résoudre l'équation obtenue avec $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0$$\overrightarrow{AB}(1;6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BD}}=x_D-x_B=5-3=2\\ y_{\overrightarrow{BD}}=y_D-y_B=y-5 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{BD}(2;y-5)$
On veut $ABD$ rectangle en $B$ donc que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BD}$ soient orthogonaux.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0 \Longleftrightarrow 1\times 2+6(y-5)=0$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0} \Longleftrightarrow 2+6y-30=0$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0} \Longleftrightarrow 6y=28$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0} \Longleftrightarrow y=\dfrac{28}{6}$
Contrôle graphique du résultat
$y_D=\dfrac{14}{3}\approx 4,7$
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