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$ABC$ et $ACD$ sont deux triangles rectangles respectivement en $B$ et en $D$ tels que $BC=5$cm, $AC=6$cm et $CD=4$cm
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- Calculer $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}$
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Utilser le projeté orthogonal de $A$ sur $(CB)$figure
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ donc le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ est $B$ (l'angle $\widehat{ACB}$ est aigu).
$ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}=CB\times CB=CB^2=25$
- Calculer $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CD}$
- En déduire $ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BD}$
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$On peut décomposer $ \overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD}$
$ \overrightarrow{BC}=- \overrightarrow{CB}$$ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BD}$
$= \overrightarrow{CA}.( \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CD})$
$= \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CD}$
$ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BC}$
$= \overrightarrow{CA}.(- \overrightarrow{CB})$
$=- \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}$
$=-25$
On a alors:
$ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BD}$
$= \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CD}$
$=- \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{CA}. \overrightarrow{CD}$
$=-25+16$
$=-9$
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