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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Plus d'infos
  1. spécialité maths première
  2. chapitre 2 Dérivation
  3. exercice corrigé nº787

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$ABCD$ est un carré de côté 10 et $\mathcal{C}$ est le quart de cercle de centre $A$ et de rayons $[AB]$ et $[CD]$.
$M$ est un point quelconque de $\mathcal{C}$ et la tangente à $\mathcal{C}$ en $M$ coupe $[BC]$ en $E$ et $[CD]$ en $F$.
On veut déterminer la position du point $M$ afin de rendre la distance $EF$ minimale.
  1. Construire la figure avec un logiciel de géométrie (GEOGEBRA).

    Aide

    Construire le carré $ABCD$ puis le quart de cercle $\mathcal{C}$
    Placer un point M sur $\mathcal{C}$
    Tracer la perpendiculaire à $(AM)$ passant par $M$ puis définir les points $E$ et $F$ comme intersections de cette droite avec $[BC]$ et $[CD]$.
    Afficher distance $EF$
    En déplaçant le point $M$ sur $\mathcal{C}$, conjecturer la position de $M$ pour que $EF$ soit minimale.

    Solution

    Figure GEOGEBRA:

    En déplaçant le point $M$ sur le demi-cercle, on peut conjecturer que $EF$ est minimale quand le point $M$ est aligné avec $O$ et $C$
  2. Démonstration de la conjecture émise dans la partie 1
    On pose $BE=x$ et $DF=y$ avec $x\in [0;10]$
    Montrer que $ME=x$ et que $MF=y$ et en déduire que $EF=x+y$

    Aide

    Utiliser les triangles rectangles $ABE$ et $AME$ pour montrer que $ME=x$
    Utiliser les triangles rectangles $ADF$ et $AMF$ pour montrer que $MF=y$
    $EF=EM+MF$ car le point $M$ est sur le segment $[EF]$

    Solution

    Dans le triangle $ABE$ rectangle en $E$:
    $AE^2=BE^2+AB^"$
    et dans le triangle $AEM$ rectangle en $M$:
    $AE^2=ME^2+AM^2$
    donc $BE^2+AB^2=x^2+100=ME^2+AB^2=ME^2+100$
    donc $ME^2=x^2$ soit $ME=x$

    En utilisant de même les triangles rectangles $ADF$ et $AMF$, on obtient
    $MF=y$

    $M\in [EF]$ donc $EF=EM+MF=x+y$
  3. En utilisant le triangle $CEF$, montrer que $EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$

    Aide

    Utiliser le triangle $CEF$ rectangle en $C$

    Solution

    Dans le triangle CEF rectangle en C:
    $EF^2=CF^2+CE^2$
    donc $EF^2=(10-y)^2+(10-x)^2=100-20y+y^2+100-20x+x^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
  4. Déduire des deux questions précédentes que $y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
    puis que $EF=\dfrac{x^2+100}{x+10}$

    Aide

    On a montré que $EF=x+y$ donc $EF^2=(x+y)^2
    et que $EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
    Remplacer ensuite $y$ par son expression en fonction de $x$ dans $EF=x+y$

    Solution

    D'après les questions précédentes, on a $EF=x+y$ et $EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$

    donc $EF^2=(x+y)^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
    $(x+y)^2=x^2+y^2-20x-20y+200$
    $\Longleftrightarrow x^2+y^2+2xy=x^2+y^2-20x-20y+200$
    $\Longleftrightarrow 20y+2xy=-20x+200$
    $\Longleftrightarrow y(20+2x)=-20x+200$
    $\Longleftrightarrow y=\dfrac{2(-10x+100}{2(10+x)}=\dfrac{100-10x}{10+x}$ car $x>0$ donc $x+10\neq 0$

    On avait obtenu $EF=x+y$ et on peut utiliser le résultat précédent en remplaçant $y$ par $\dfrac{x^2+100}{x+10}$ dans $EF=x+y$
    $EF=x+y=x+\dfrac{100-10x}{10+x}$
    $=\dfrac{x(10+x)}{10+x}+\dfrac{100-10x}{10+x}$
    $=\dfrac{10x+x^2+100-10x}{10+x}$
  5. En posant $f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$, déterminer la valeur de la distance $EF$ minimale et la position du point $M$ correspondante.

    Rappel de cours

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction

    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

    Aide

    Calculer $f'(x)$ en utilisant la dérivée d'un quotient f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
    Etudier le signe de $f'(x)
    Déterminer le minimum de $f$ avec les variations de $f$

    Solution

    - Calcul de $f'(x)$
    on pose $u(x)=x^2+100$ et $v(x)=x+10$
    et on a $u'(x)=2x$ et $v(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{2x(x+10)-(x^2+100)}{(x+10)^2}=\dfrac{x^2+20x-100}{(x+10)^2}$
    - Etude des variations $(x+10)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2+20x-100$
    - Etude du signe de $x^2+20x-100$
    $\Delta=20^2-4\times (-100)=800$
    Deux racines $x_1=\dfrac{-20-\sqrt{800}}{2}$
    et $x_2=\dfrac{-20+\sqrt{800}}{2}=10\sqrt{2}-10$
    donc sur $[0;10]$, on a $f'(x)>0$ sur $[x_2;10]$ et $f'(x)<0$ sur $[0;x_2]$
    donc $f$ est décroissante sur $[0;x_2]$ puis croissante sur $[x_2;10]$
    et admet donc un minimum en $x_2=10\sqrt{2}-10$.
    on a alors $y=\dfrac{100-10(10\sqrt{2}-10)}{10\sqrt{2}-10+10}$
    $y=\dfrac{200-100\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$
    $=\dfrac{20-10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
    $=\dfrac{(20-10\sqrt{2})\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}$
    $=\dfrac{20\sqrt{2}-20}{2}$
    $=10\sqrt{2}-10$
    soit $BE=DF$
    et on a alors $EF=x+y=2x=20\sqrt{2}-20=20(\sqrt{2}-1)\simeq 8,28$

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nº786 Recherche d'un minimum
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