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Un entreprise fabricant des peintures décide de réduire la quantité de rejets de produits toxiques en utilisant un système de traitement des déchets.
En 2013, elle a rejeté 12 tonnes de déchets.
L'objectif est de réduire la quantité de déchets rejeté en dessous de 4 tonnes en 2020.
On note $p_n$ la quantité de déchets rejetés en $2013+n$.
L'entreprise a le choix entre deux formules selon la technique de traitement des déchets utilisée.
Formule A: On réduit la quantité de déchets rejetés de 0,9 tonne par an.
Formule B: On réduit la quantité de déchets rejetés de 15% par an.
Partie 1: Avec la formule A
  1. Montrer que dans ce cas, $(p_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
    Chaque année, on enlève 0,9 pour obtenir la quantité de l'année suivante.
    $p_n$ est la quantité de déchets rejetés l'année $2013+n$
    et donc l'année suivante, l'entreprise rejette une quantité de déchets $p_n-0,9$
    donc on a $p_{n+1}=p_n-0,9$
  2. En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ avec la formule A.

    Forme explicite d'une suite arithmétique


    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
    Il faut déterminer $p_0$ (année $2013+0=2013$)
    En prenant $n=0$, $p_0$ correspond à la quantité de déchets rejetés en $2013+0=2013$
    donc $p_0=12$.
    $(p_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-0,9$ et premier terme $p_0=12$
    donc $p_n=p_0+n\times r=12-0,9n$
  3. Déterminer alors la quantité de déchets rejetés en 2020.
    On a $2020=2013+7$ donc il faut calculer $p_7$
    $2020=2013+7$ donc il faut calculer $p_7$
    $p_7=12-0,9\times 7=5,7$

Partie 2: Avec la formule B
  1. Montrer que dans ce cas, $(p_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    Diminuer une valeur de 15% revient à appliquer chaque année le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{10}{100}$
    Diminuer une valeur de 15% revient à appliquer chaque année
    le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{15}{100}=0,85$
    $p_n$ est la quantité de déchets rejetés l'année $2013+n$
    et donc l'année suivante, l'entreprise rejette une quantité de déchets $p_n\times 0,85$
    donc on a $p_{n+1}=0,85p_n$
  2. En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ avec la formule B.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    $(p_n)$ est une suite arithmétique de raison $q=0,85$ et premier terme $p_0=12$
    donc $p_n=p_0\times q^n=12\times 0,85^n$
  3. Déterminer alors la quantité de déchets rejetés en 2020.
    On a $2020=2013+7$ donc il faut calculer $p_7$
    $2020=2013+7$ donc il faut calculer $p_7$
    $p_7=12\times 0,85^7\approx 3,85$
  4. Compte tenu des objectifs fixés, quelle est la formule la plus adaptée?
    On veut rejeter moins de 4 t de déchets en 2020

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques

- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique


infos: | 15mn |

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