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Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 x + 1 - xe^{- x}$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ et $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = 2x + 1$.
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- Soient $a$, $b$ et $c$ des nombres réels.
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (ax + b)e^{-x} + c$.
On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.- Calculer $g'(x)$.
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $g(x)=u(x)v(x)+c$On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $g(x)=u(x)v(x)+c$
$u'(x)=a$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
$g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{g'(x)}=ae^{-x}+(ax+b)(-e^{-x})$
$\phantom{g'(x)}=e^{-x}(a-(ax+b))$
$\phantom{g'(x)}=e^{-x}(a-ax-b)$
$\phantom{g'(x)}=e^{-x}(-ax+a-b)$
- Le tableau de variation de $g$ est le suivant :
En utilisant les données numériques de ce tableau, établir que $a = 1$, $b = -1$ et $c = 2$.On peut écrire trois équations utilisant les données $g(0)$, $g(1)$ et $g'(2)$.D'après le tableau de variation on a $g(0)=1$, $g(1)=2$ et $g'(2)=0$.
$g(0)=(a\times 0 + b)e^{0} + c=1$ soit $b+c=1$
$g'(2)=e^{-2}(-a2+a-b)=0$ or $e^{-2}>0$ donc on a $-2a+a-b=0$ soit $-a-b=0$ ou encore $a+b=0$
$g(1)=(a+b)e^{-1}+c=2$ donc $\dfrac{a+b}{e}+c=2$
$ \begin{cases} b+c=1\\ a+b=0\\ \dfrac{a+b}{e}+c=2\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} b+c=1\\ a=-b\\ \dfrac{-b+b}{e}+c=2\end{cases}$
$ \phantom{\begin{cases} b+c=1\\ a+b=0\\ \dfrac{a+b}{e}+c=2\end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=1-c\\ a=-b\\ c=2\end{cases}$
$ \phantom{\begin{cases} b+c=1\\ a+b=0\\ \dfrac{a+b}{e}+c=2\end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=-1\\ a=1\\ c=2\end{cases}$
- Calculer $g'(x)$.
-
- En utilisant le tableau de variation, justifier que l'équation $g (x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $[ - 1 ; 0]$ .
On note $\alpha$ cette solution.Il faut séparer l'ensemble de définition avec $]-\infty;2[$ d'une part et $]2;+\infty[$
On utilise les variations de $g$ sur $]-\infty;2]$D'après le tableau de variation $g$ est strictement croissante et sur $]-\infty;2]$
et $g(0)=1$ et $g(-1)= (-1 - 1 )e^{1} + 2=-2e+2$ donc $g(-1) <0$
donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]-\infty;2]$
Sur $[2;+\infty[$, on a $g(x)\geq 2$ donc l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune solution.
Pour la suite, on admet que $\alpha \approx -0,4$
- En utilisant le tableau de variation, justifier que l'équation $g (x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $[ - 1 ; 0]$ .
- En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 x + 1 - xe^{- x}$.
- On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Montrer que $f'(x) = g (x)$.Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $f(x)=2x+1-u(x)v(x)$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $f(x)=2x+1-u(x)v(x)$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$ (dérivée de $exp(kx)$ avec $k=-1$)
$f'(x)=2-(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=2-(e^{-x}+x(-e^{-x})$
$\phantom{f'(x)}=2-e^{-x}+xe^{-x}$
$\phantom{f'(x)}=2+e^{-x}(-1+x)$
$\phantom{f'(x)}=g(x)$
- Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle $(\mathcal{C})$ la représentation graphique de $f$ et $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = 2x + 1$.
- Montrer que pour tout réel $x$, on a $f(x)-(2x+1)=-\dfrac{x}{e^x}$
Avec la calculatrice, conjecturer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) - (2x + 1)$. - Donner une interprétation graphique de ce résultat.
$f(x)-(2x+1)$ représente "l'écart" entre la droite $(\mathcal{D})$et la courbe $(\mathcal{C})$On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)-(2x+1)=0$
donc la droite $(\mathcal{D})$ et la courbe $(\mathcal{C})$ sont "infiniment" proches quand $x \longrightarrow +\infty$
On dit que la droite $(\mathcal{D})$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. - Tracer $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ dans le plan muni du repère orthonormal en prenant pour unité graphique 2 cm.
Utiliser le tableau de valeurs (TABLE) de la calculatrice pour placer suffisamment de points et placer le maximum de $f$
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