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Résoudre les inéquations ci-dessous dans $\mathbb{R}$
  1. $(e^{-2x+4})^2\leq e^x$

    Égalité et inégalités avec exponentielle


    Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
    $e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$

    $e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
    Il faut transformer l'écriture du membre de gauche dans cette inéquation
    $(e^{-2x+4})^2\leq e^x \Longleftrightarrow e^{2(-2x+4)}\leq e^x$

    $\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow e^{-4x+8}\leq e^x$

    $\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow -4x+8\leq x$

    $\phantom{(e^{-2x+4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow -3x\leq -8$

    $\phantom{(e^{2x-4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{-8}{-3}$ l'inégalité change de sens (on divise par $-3$)

    $\phantom{(e^{2x-4})^2\leq e^x} \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{8}{3}$
  2. $e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}$
    On a $\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}$
    $e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x} \Longleftrightarrow e^{2-x}>e^{-x}$

    $\phantom{e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}} \Longleftrightarrow 2-x>-x$

    $\phantom{e^{2-x}>\dfrac{1}{e^x}} \Longleftrightarrow 0x>-2$

    $0x=0$ est toujours strictement supérieur à $-2$ donc l'inégalité est vraie pour tout réel $x$
  3. $(e^{2x}-1)(e^x+1)>0$
    Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $e^x+1>0$
    $(e^{2x}-1)(e^x+1)$ est donc du signe de $e^{2x}-1$
    Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc $e^x+1>0$
    donc $(e^{2x}-1)(e^x+1)$ est du signe de $e^{2x}-1$
    $(e^{2x}-1)(e^x+1)>0 \Longleftrightarrow e^{2x}-1>0$ car $e^x+1>0$ pour tout réel $x$

    $\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}-1>0$

    $\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}>1$

    $\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow e^{2x}>e^0$ ( rappel $e^0=1$)

    $\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow 2x>0$

    $\phantom{(e^{2x}-1)(e^x+1)>0} \Longleftrightarrow x>0$

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