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La fonction $f$ est définie sur $[-1;5]$ et on donne ci-dessous son tableau de variation.



  1. En utilisant le tableau de variation, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=10$.
    Il faut déterminer le nombre de points de la courbe ayant pour ordonnée 10.
    Les ordonnées se lisent dans la deuxième ligne du tableau ($f(x)$)
    D'après le tableau de variation, le maximum de $f$ est 9 atteint en $x=2$
    donc pour tout réel $x\in [-1;5]$, on a $f(x)\leq 9$
    donc pour tout réel $x\in[-1;5]$, $f(x)\neq 10 $

  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ en utilisant le tableau de variation.
    Il déterminer le nombre de points de la courbe ayant pour ordonnée 1.
    On peut distinguer deux cas $-1 < x <2$ et $2 < x <5$
    Sur l'intervalle $[-1;2]$, on $f(x)$ compris entre $-9$ et $9$ et $f$ strictement croissante
    donc l'équation $f(x)=1$ admet une seule solution.

    Sur l'intervalle $[2;5]$, on $f(x)$ compris entre $9$ et $-9$ et $f$ strictement décroissante
    donc l'équation $f(x)=1$ admet une seule solution.

  3. $f$ est définie par $f(x)=-2x^2+8x+1$.
    Déterminer alors la valeur des solution de l'équation $f(x)=1$.
    Passer tous les termes dans le membre de gauche puis factoriser

    $f(x)=1 \Longleftrightarrow -2x^2+8x+1=1$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow -2x^2+8x=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x(-2x+8)=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $-2x+8=0$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $-2x=-8$
    $\phantom{f(x)=1} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$

  4. Montrer que pour tout réel $x$, on a $-2x^2+8x-6=-2(x-1)(x-3)$.
    En déduire les solutions de l'équation $f(x)=7$.
    Il faut développer $-2(x-1)(x-3)$
    Pour résoudre $f(x)=7$, il faut passer tous les termes dans le membre de gauche.
    Pour tout réel $x$, on a:
    $-2(x-1)(x-3)=-2(x^2-3x-x+3)=-2(x^2-4x+3)=-2x^2+8x-6$


    $f(x)=7 \Longleftrightarrow -2x^2+8x+1=7$
    $\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow -2x^2+8x+1-7=0$
    $\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow -2x^2+8x-6=0$
    $\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow -2(x-1)(x-3)=0$ (en utilisant le résultat précédent)
    $\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x-1=0$ ou $x-3=0$
    $\phantom{f(x)=7} \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=3$
    donc $f(x)=7$ pour $x=1$ ou $x=3$

  5. En utilisant le résultat précédent et le tableau de variation, déterminer l'ensemble de solution de l'inéquation $f(x)>7$.
    On veut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles les points de la courbe ont une ordonnée strictement supérieure à 7.
    On a $f(1)=f(3)=7$.
    Schématiquement, on a:

    donc $f(x) > 7$ pour $x\in ]1;3[$

  6. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.

    Retrouver graphiquement les solutions de l'inéquation $f(x) > 7$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 7.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 7 (zone de la courbe en pointillés bleus sur le graphique).

    Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite d'équation $y=7$ (tracée en bleu sur le graphique)
    donc on a bien $f(x) > 7$ pour $x\in ]1;3[$.



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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Déterminer graphiquement ou par le calcul images et antécédents

- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre à partir du graphique (courbe donnée)
- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre par le calcul (fonction donnée)


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