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Un fournisseur d'accès internet affirme dans sa publicité que 77% des ses clients sont satisfaits.
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- On effectue une enquête auprès de 400 clients montre que 315 d'entre-eux sont satisfaits.
Peut-on remettre en cause l'affirmation de ce fournisseur d'accès?Intervalle de fluctuation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
$f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)Prise de décision
On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaites
Il faut déterminer l'intervalle de fluctuation.On ici $n\geq 25$ puisque $n=400$.
$p=\dfrac{77}{100}=0,77$ donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,77-\dfrac{1}{\sqrt{400}}=0,72$
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,77+\dfrac{1}{\sqrt{400}}=0,82$
315 clients parmi 400 sont satisfaits donc $f=\dfrac{315}{400}=0,7875$
donc $f\in I_F$
- Pour affiner les résultats, on effectue une nouvelle enquête auprès de 2000 clients et on en a alors 1458 satisfaits.
Avec cette nouvelle enquête, peut-on remettre en cause l'affirmation de ce fournisseur d'accès?Il faut reprendre les calculs avec $n=2000$ et $f=\dfrac{1458}{2000}$On ici $n\geq 25$ puisque $n=2000$.
$p=\dfrac{77}{100}=0,77$ donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,77-\dfrac{1}{\sqrt{2000}}\approx 0,747$ (on doit arrondir la borne inférieure par défaut)
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,77+\dfrac{1}{\sqrt{2000}}\approx 0,793$ (on doit arrondir la borne supérieure par excès)
1458 clients parmi 2000 sont satisfaits donc $f=\dfrac{1458}{2000}=0,729$
donc $f\notin I_F$
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