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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

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On effectue un contrôle sur la longueur de tiges métalliques et les relevés sont les suivants:

  1. Calculer la moyenne arrondie aux dixièmes et l'écart type arrondi aux centièmes pour cette série de données.

    Moyenne


    On considère la série de $N$ données $x_i$ ($i$ entier naturel compris entre $1$ et $N$) les valeurs du caractère et $n_i$ les effectifs correspondants.
    $N=n_1+n_2+$.... est l'effectif total.
    La moyenne de la série statistique est $\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\text{.....}+n_px_p}{N}$.} Dans le cas d'une série regroupée en classe, on utilise le centre des classes pour faire le calcul de la moyenne.

    Écart type et variance


    La variance (notée le plus souvent $V$) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
    $V=\dfrac{n_1(\overline{x}-x_1)^2+n_2(\overline{x}-x_2)^2..............+n_p(\overline{x}-x_p)^2}{N}$
    On peut aussi calculer $V$ plus simplement:
    $V=\dfrac{(n_1x_1^2+n_2x_2^2+........n_p x_p^2)}{N}-\overline{x}^2$
    L'écart type noté $\sigma $ est $\sigma=\sqrt{V}$
    L'écart type est une caractéristique de dispersion.
    L'effectif total est $2+5+7+12+21+64+82+63+34+15++8+7+7=280$
    $\overline{L}=\dfrac{19,4\times 2+19,5\times 5+......+20,5\times 7+20,6\times 7}{280}\approx 20$
    Voir cours pour les autres modèles de calculatrice
    Avec CAsio et le menu STAT, il faut entrer les longueurs dans la LISTE1 et les effectifs dans la LISTE2 puis paramétrer la calculatrice dans SET 1VAR XList:List1 et 1VAR Freq: List2
    On obtient alors $\overline{L}\approx 20,04 \approx 20$
    $\sigma\approx 0,22$
  2. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants puis déterminer $Q_1$ et $Q_3$ premier et troisième quartiles.

    Médiane


    La médiane $M$ est la valeur du caractère telle que a 50% (la moitié) des valeurs soient inférieures ou égales à $M$ et l'autre moitié supérieures ou égale à $M$.
    Exemple 1: Si l'effectif total est pair (par exemple 14 valeurs) alors la médiane est entre la 7ième et la 8ième valeur(valeurs classées dans l'ordre croissant)
    Exemple 2: Si l'effectif total est impair (par exemple 15 valeurs) alors la médiane correspond à la 8ième valeur(valeurs classées dans l'ordre croissant)

    Quartiles


    Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 25% (un quart) des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_1$.
    Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 75% (trois quarts) des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_3$.
    L'intervalle $[Q_1;Q_3]$ est l'intervalle interquartile et $Q_3-Q_1$ est l'écart interquartile.

    25% de 280 est égal à $\dfrac{25}{100}\times 280=70$
    $Q_1$ est la plus petite valeur du caractère (les longueurs) telle que au moins 25% des valeurs(soit 70 tiges) ont une longueur inférieure ou égale à $Q_1$
    D'après le tableau des effectifs cumulés croissants, $Q_1=20$
    75% de 280 est égal à $\dfrac{75}{100}\times 280=210$
    $Q_3$ est la plus petite valeur du caractère (les longueurs) telle que au moins 75% des valeurs(soit 210 tiges) ont une longueur inférieure ou égale à $Q_3$
    D'après le tableau des effectifs cumulés croissants, $Q_3=20,2$
  3. Le statisticien {J-M Tukey qualifie d'aberrantes les valeurs de la série statistique qui n'appartiennent pas à l'intervalle $\left[ Q_1-\dfrac{3}{2}E;Q_3+\dfrac{3}{2}E \right]$ où $E$ est l'écart interquartile.
    Déterminer le nombre de valeurs dites "aberrantes".
    $E=Q_3-Q_1=20,2-20=0,2$ $Q_1-\dfrac{3}{2}E=20-1,5\times 0,2=19,7$
    et $Q_3+\dfrac{3}{2}E=20,2+\dfrac{3}{2}\times 0,2=20,5$ Il y a $2+5+7+7=21$ valeurs que l'on peut qualifier d'aberrantes selon le critère fixé.
  4. Refaire le calcul de la moyenne et de l'écart en éliminant les valeurs qualifiées d'aberrantes et commenter les résultats obtenus par rapport à ceux de la question 1.
    On a alors le tableau de données suivant:

    On a alors avec ces données:
    $\overline{L'}\approx 20,0504 \approx 20,1$
    et $\sigma' \approx 0,17$

    On peut remarquer que les moyennes sont semblables dans les deux cas et que l'écart diminue puisque les données sont moins "dispersées" par rapport à la moyenne, les valeurs dites "aberrantes" (donc extrêmes) étant éliminées.

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