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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Les candidats a un jeu télévisé doivent répondre le plus rapidement possible à une série de dix questions.
Le tableau ci-dessous donne le nombre de bonnes réponses obtenues.
  1. Combien de candidats ont été interrogés?
    Il faut calculer la somme des effectifs
    Somme des effectifs: $0+2+5+3+8+12+5+3+4+1+1=44$
  2. Compléter le tableau avec les effectifs cumulés croissants
  3. En déduire la médiane et le premier et troisième quartiles.

    Médiane


    La médiane $M$ est la valeur du caractère telle que a 50% (la moitié) des valeurs soient inférieures ou égales à $M$ et l'autre moitié supérieures ou égale à $M$.
    Exemple 1: Si l'effectif total est pair (par exemple 14 valeurs) alors la médiane est entre la 7ième et la 8ième valeur(valeurs classées dans l'ordre croissant)
    Exemple 2: Si l'effectif total est impair (par exemple 15 valeurs) alors la médiane correspond à la 8ième valeur(valeurs classées dans l'ordre croissant)

    Écart type et variance


    La variance (notée le plus souvent $V$) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
    $V=\dfrac{n_1(\overline{x}-x_1)^2+n_2(\overline{x}-x_2)^2..............+n_p(\overline{x}-x_p)^2}{N}$
    On peut aussi calculer $V$ plus simplement:
    $V=\dfrac{(n_1x_1^2+n_2x_2^2+........n_p x_p^2)}{N}-\overline{x}^2$
    L'écart type noté $\sigma $ est $\sigma=\sqrt{V}$
    L'écart type est une caractéristique de dispersion.
    Il faut utiliser les effectifs cumulé croissants
    L'effectif total est 44 donc est pair.
    La médiane est donc comprise entre la 22ième valeur et la 23ième valeur
    La 22ième valeur est 5 et la 23ième valeur est 5

    25% de $44=11$ donc le premier quartile correspond à la 11ième valeur
    et d'après les effectifs cumulés croissants, la 11ième valeur est 4

    75% de $44=33$ donc le troisième quartile correspond à la 33ième valeur
    et d'après les effectifs cumulés croissants, la 33ième valeur est 6
  4. Construire alors le diagramme en boîte correspondant.

    Diagramme en boîte


    Sur un axe gradué, on doit placer le minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$ et la valeur maximale.
    Il faut utiliser un axe gradué de 0 à 10
    On a $min=1$, $Q_1=4$, $med=5$, $Q_3=6$ et $max=10$
  5. Pour un second jeu pendant lequel on ne compte pas le temps mis pour répondre, on a obtenu le diagramme suivant:

    Que peut-on conclure en lisant ces deux diagrammes?
    Il faut comparer l'écart interquartile (taille de la boîte)
    Les valeurs $min$ et $max$ sont identiques pour les deux diagrammes.
    Par contre, on peut lire ici $Q'_1=5$ et $Q'_3=7$
    Pour la première série de données(en tenant compte du temps), on a environ 50% des candidats qui ont entre 4 et 6 bonnes réponses
    alors que pour la seconde séries de données(sans tenir compte du temps), environ 50% des candidats ont entre 5 et 7 bonnes réponses.
    On peut supposer que cela est du au fait que les candidats ont plus de temps pour répondre et donc qu'ils font moins d'erreurs.
  6. Peut-on dire dans le second cas qu'au moins 75% des candidats ont 7 bonnes réponses ou moins?

    Quartiles


    Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 25% (un quart) des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_1$.
    Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur du caractère telle que au moins 75% (trois quarts) des valeurs soient inférieures ou égales à $Q_3$.
    L'intervalle $[Q_1;Q_3]$ est l'intervalle interquartile et $Q_3-Q_1$ est l'écart interquartile.
    Il faut utiliser $Q'_3$ et en donner la signification
    Dans le second cas, on a $Q'_3=7$ donc cela signifie qu'au moins 75% des candidats ont 7 bonnes réponses ou moins

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Médianes et quartiles avec une série discrète

- définitions
- méthode
- exemple


infos: | 10mn |

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