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On considère la droite $D_k$ d'équation $kx+(1-k)y-1=0$ avec $k$ réel.
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- Déterminer une équation des droites $D_1$ et $D_2$ et montrer que ces deux droites sont sécantes.
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut vérifier que le vecteurs directeurs de ces deux droites ne sont pas colinéairesSi $k=1$ on a alors $D_1$: $x+0y-1=0$ soit $x-1=0$.
Si $k=2$ on a alors $D_2$: $2x+(1-2)y-1=0$ soit $2x-y-1=0$.
$\overrightarrow{u}(0;1)$ est un vecteur directeur de $D_1$
$\overrightarrow{v}(1;2)$ est un vecteur directeur de $D_2$
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=0\times 2-1\times 1=-1\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
- Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de ces deux droites.
- En déduire que les droites $D_k$ passent par un point fixe.
Si toutes les droites $D_k$ passent par un même point alors cepoint est $I$ point d'intersection de $D_1$ et $D_2$.$D_1$ et $D_2$ sont sécantes en $I(1;1)$ donc si les droites $D_k$ passent par un point fixe, ce point ne peut-être que le point $I$.
$D_k$ a pour équation $kx+(1-k)y-1=0$.
$kx_I+(1-k)y_I-1=k+(1-k)\times 1-1=k+1-k-1=0$
donc $I\in D_k$ pour tout réel $k$.
- On considère les droites $D_k$ et $D_k'$ avec $k\neq k'$.
Montrer que ces deux droites sont sécantes et déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites (sans utiliser les questions précédentes).Il faut vérifier que le vecteurs directeurs de ces deux droites ne sont pas colinéaires (on a $k \neq k'$)
Il faut résoudre le système d'équations formé avec les deux équations de droites (on pourra utiliser la méthode par combinaisons$D_k$ a pour équation $kx+(1-k)y-1=0$ (on a $a=k$ et $b=1-k$)
donc $\overrightarrow{u}(k-1;k)$ est un vecteur directeur de $D_k$.
De même $D_{k'}$ a pour équation $k'x+(1-k')y-1=0$ (on a $a'=k'$ et $b'=1-k'$)
donc $\overrightarrow{v}(k'-1;k')$ est un vecteur directeur de $D_{k'}$.
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=(k-1)k'-k(k'-1)=kk'-k'-kk'+k=k-k'$
On a $k\neq k'$ donc $k-k'\neq 0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
et les droites $D_k$ et $D_{k'}$ ne sont pas parallèles
$\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases} \longleftrightarrow \begin{cases} k'kx+k'(1-k)y-k'=0 ~~k'L_1\\ kk'x+k(1-k')y-k=0 ~~kL_2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'(1-k)y-k(1-k')y-k'+k=0~~k'L1-kL_2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'(1-k)-k(1-k')\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'-kk'-k+kk'\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'-k\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ y=\dfrac{k'-k}{k'-k}~~\text{car } k\neq k' \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)\times 1-1=0\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+1-k-1=0\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} kx=k\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} x=1 ~~\text{si }k\neq 0\\ y=1 \end{cases}$
Si $k=0$ alors le point $I(1;1)$ appartient à $D_0$ car $0x_I+(1-0)y_I-1=0$.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Équations cartésiennes
- tracer une droite définie par son équation cartésienne
- déterminer une équation cartésienne
- déterminer si deux droites sont parallèles
- déterminer une équation cartésienne d'une parallèle
infos: | 20-25mn |
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