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Dans un repère orthonormé, on donne $A(6;-2)$ et $B(2;2)$ et la droite $d$ d'équation réduite $y=2x+1$
  1. Déterminer l'équation réduite de $(AB)$ et la tracer.

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$


    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)
    $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2-(-2)}{2-6}=\dfrac{4}{-4}=-1$
    L'équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=-x+b$.
    $A(6;-2)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $y_A=-x_A+b$.
    $-2=-6+b \Longleftrightarrow 4=b$


    Graphiquement, la droite $(AB)$ coupe l'axe des ordonnées en $y=4$.
    et le coefficient directeur est $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{4}{-4}=-1$.
  2. Tracer la droite $d$ dans le même repère que $(AB)$.
    On peut déterminer les coordonnées de deux points de $d$ en calculant $y$ pour $x=0$ par exemple puis pour $x=2$.
    La droite $d$ a pour équation réduite $y=2x+1$.
    Pour $x=0$, on a $y=2\times 0+1=1$
    et pour $x=2$, on a $y=2\times 2+1=5$
  3. Vérifier que le point $I(1;3)$ est le point d'intersection de la droite $(AB)$ et de la droite $d$.
    Si $I$ appartient à $(AB)$, ses coordonnées vérifient l'équation réduite de $(AB)$ soit $y_I=-x_I+4$
    Il faut aussi vérifier que $I$ appartient à $d$ avec l'équation réduite de $d$.
    $-x_I+4=-1+4=3=y_I$
    donc $I \in (AB)$.
    $2x_I+1=2\times 1+1=3$
    donc $I\in d$.

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