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Dans un repère orthonormé, on donne $A(3;4)$, $B(-3;-1)$ et $C(3;-3)$.
penser à contrôler graphiquement les calculs en plaçant les points dans un repère.
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penser à contrôler graphiquement les calculs en plaçant les points dans un repère.
- Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.
Que représente la droite $(AI)$ pour le triangle $ABC$?Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$Médianes et centre de gravité
La médiane issue de $A$ dans un triangle $ABC$ est la droite passant par $A$ et le milieu de $[BC]$ (côté opposé au sommet $A$).
Centre de gravité
Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des trois médianes.
$\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{-3+3}{2}=0$
$y_I=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-1-3}{2}=-2$
$(AI)$ passe par le sommet $A$ et le milieu $I$ de $[BC]$
- Déterminer les coordonnées du point $G$ tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$.
Coordonnées de la somme et du produit par un réel
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x';y')$ alors:
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}(x+x';y+y')$
$k\overrightarrow{u}(kx;ky)$Il faut calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AI}$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AI}}=x_I-x_A=0-3=-3\\ y_{\overrightarrow{AI}}=y_I-y_A=-2-4=-6 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AI}(-3;-6)$
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-x_A=\dfrac{2}{3}x_{\overrightarrow{AI}}\\ y_G-y_A=\dfrac{2}{3}y_{\overrightarrow{AI}} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-3=\dfrac{2}{3}\times (-3)\\ y_G-4=\dfrac{2}{3}\times (-6) \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G-3=-2\\ y_G-4=-4 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_G=1\\ y_G=0 \end{cases}$
- Calculer les coordonnées du milieu $J$ de $[AC]$.
Montrer que $B$, $J$ et $G$ sont alignés.Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BG}$ sont colinéaires.$x_J=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{3+3}{2}=3$
$y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BJ}}=x_J-x_B=3-(-3)=6\\ y_{\overrightarrow{BJ}}=y_J-y_B=\dfrac{1}{2}-(-1)=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BJ}\left(6;\dfrac{3}{2}\right)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BG}}=x_G-x_B=1-(-3)=4\\ y_{\overrightarrow{BG}}=y_G-y_B=0-(-1)=1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BG}\left(4;1\right)$
$x_{\overrightarrow{BJ}}y_{\overrightarrow{BG}}-y_{\overrightarrow{BJ}}x_{\overrightarrow{BG}}=6\times 1-\dfrac{3}{2}\times 4=6-6=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BG}$ sont colinéaires
- Que représente alors le points $G$ pour le triangle $ABC$?
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs colinéaires et alignement
- montrer que trois points sont alignés dans un repère
- utiliser le critère de colinéarité
infos: | 10mn |
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