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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés
  1. $A(3;5)$, $B(-2;1)$ et $C(4;2)$

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points


    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)

    Critère de colinéarité dans un repère


    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$
    Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour déterminer si les deux vecteurs sont colinéaires
    Les trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$(ou bien $\overrightarrow{BC}$) sont colinéaires
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-3=-5 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-5=-4 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-5;-4)$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=4-3=1 \\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-5=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}(1;-3)$

    $ x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}=(-5)\times (-3)-(-4)\times 1=19$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires

    Penser à placer les points dans un repère pour contrôler le résultat obtenu par le calcul.
  2. $A(2;-6)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-3)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-2=-3 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-(-6)=9 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-3;9)$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-2=-1 \\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-3-(-6)=3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}(-1;3)$

    $x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}=(-3)\times 3-9\times (-1)=-9+9=0$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires

    Penser à placer les points dans un repère pour contrôler le résultat obtenu par le calcul.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Vecteurs colinéaires et alignement

- montrer que trois points sont alignés dans un repère
- utiliser le critère de colinéarité


infos: | 10mn |

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