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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, déterminer dans chaque cas la valeur de $\alpha$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires.
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- $\overrightarrow{u}(2;1+\alpha)$ et $\overrightarrow{v}(3;-1)$
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut écrire une équation d'inconnue $\alpha$ en utilisant le critère de colinéarité$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=0$
$\Longleftrightarrow 2\times (-1)-(1+\alpha)\times 3=0$
$\Longleftrightarrow -2-3-3\alpha=0$
$\Longleftrightarrow -5-3\alpha=0$
$\Longleftrightarrow -3\alpha=5$
$\Longleftrightarrow \alpha=\dfrac{-5}{3}$
On a alors: $\overrightarrow{u}(2;1-\dfrac{5}{3})$ soit $\overrightarrow{u}(2;\dfrac{-2}{3})$
- $\overrightarrow{u}(\alpha;-1)$ et $\overrightarrow{v}(4;\alpha -4)$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Utiliser le critère de colinéarité de deux vecteurs et résoudre l'équation du second degré obtenue en factorisant.$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=0$
$\Longleftrightarrow \alpha \times (\alpha-4)-(-1)\times 4=0$
$\Longleftrightarrow \alpha^2-4\alpha+4=0$
$\Longleftrightarrow (\alpha-2)^2=0$
$\Longleftrightarrow \alpha-2=0$
$\Longleftrightarrow \alpha=2$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs colinéaires et alignement
- montrer que trois points sont alignés dans un repère
- utiliser le critère de colinéarité
infos: | 10mn |
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