Dans le triangle $ABC$ on a $I\in [AB]$ et $J\in [AC]$ et $(IJ)//(BC)$.
Avec le théorème de Thalès, on peut écrire:
$\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{IJ}{BC}$
donc en remplaçant par les longueurs données, on a: $\dfrac{5}{AB}=\dfrac{AJ}{8}=\dfrac{4}{10}$
- Calcul de $AB$
$\dfrac{5}{AB}=\dfrac{2}{5}$ (on peut simplifier la fraction $\dfrac{4}{10}$)
donc $2AB=25$ (produits en croix égaux)
soit $AB=\dfrac{25}{2}=12,5$cm
- calcul de $AJ$
$\dfrac{AJ}{8}=\dfrac{2}{5}$
donc $AJ=\dfrac{2}{5}\times 8=\dfrac{16}{5}$
donc $AJ=\dfrac{16}{5}=3,2$cm

- Calcul de $AC$
Données: $(BC)\perp (AB)$ et $(EF)\perp (AB)$
propriétés: Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont perpendiculaires entre-elles.
Conclusion: $(EF)//(BC)$
Dans le triangle $ABC$ on a $E\in [AB]$ et $F\in [AC]$ et $(EF)//(BC)$.
Avec le théorème de Thalès, on peut écrire:
$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{EF}{BC}$
donc en remplaçant par les longueurs données, on a: $\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{AC}=\dfrac{EF}{BC}$
( $AB=AE+EB=3+4=7$cm)
donc $3AC=7\times 5$ (produits en croix égaux)
donc $AC=\dfrac{35}{3}$cm
- Calcul de $AD$
Dans le triangle $ACD$ on a $F\in [AC]$ et $G\in [AD]$ et $(FG)//(CD)$.
Avec le théorème de Thalès, on peut écrire (rappel, dans le premier calcul on a $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{3}{5}$):
$\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AG}{AD}=\dfrac{FG}{CD}$
donc en remplaçant par les longueurs données, on a: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{AD}=\dfrac{FG}{CD}$
donc $3AD=4\times 5$ (produits en croix égaux)
donc $AD=\dfrac{20}{3}$cm
Remarques
Pour le second calcul, on a juste besoin du rapport $\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{3}{5}$ donc on peut finalement éviter le calcul de $AC$
La fraction $\dfrac{20}{3}$ ne peut s'écrire sous forme d'un nombre décimal donc on doit laisser cette longueur écrite sous forme fractionnaire.