Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ positifs tels que $x_1 < x_2$
On veut comparer $f(x_2)$ et $f(x_1)$ donc on peut étudier le signe de la différence $f(x_2)-f(x_1)$
$f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$
on multiplie par l'expression conjuguée de $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$ soit $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\neq 0$ car $x_2>x_1\geq 0$ donc on obtient:
$f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$
$x_2>x_1$ donc $x_2-x_1>0$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$
donc $f(x_2)-f(x_1)>0$ soit $f(x_2)>f(x_1)$
$f$ est croissante sur $[0;+\infty[$

Pour tout réel $x$ positif, on a:
$(x-1)^2\geq 0\Longleftrightarrow x^2-2x+1\geq 0 \Longleftrightarrow x^2+1\geq 2x$
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
donc si $x^2+1\geq 2x \geq 0$ alors $\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}$ Pour tout $x\geq 0$, $\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}$